*** Дополнение. Формулы, связанные с замечательными пределами

(здесь везде x  0)

І. Замечательные пределы:

; ; ;;

; ;;.

II. Замечательные эквивалентности:

; ; ;;

; ; ;.

ІІІ. Замечательные равенства:

; ; ;

; ; ;

; .

IV. Пять замечательных разложений функций в ряд Маклорена.

;

22

Непрерывность и дифференцируемость

1.

Задачи для решения. Демидович 687, 689,

690, 692,702, 723, 762, 1*, 2*, 3*, 4*, 846, 850,

854, 871, 895,5*, 6* ,7* ,8* ,9*, 10*.

687. Определить характер точек разрыва функции .

Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек:

689. . 690. .

692. .702. у = х – [x].

723. .

762. Показать, что уравнение ctgx = kx kR и x(0, ) имеет единственный непрерывный корень х = х(k).

Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек:

1*. .2*. .3*. .4*. .

23

Найти производные следующих функций:

846. .850. .

854. .871. .

895. .

5*. .6*. .

7*. .8*. .

9*. .10*. .11*..

12*. .13*. .

2.

Задачи для решения. Демидович 979, 984,985,

986,999, 1004,1036, 1040, 1041, 1044, 1048, 1054.

979. Найти у и построить графики у(х) и у(х), если:

.

984. Производная от логарифма данной функции y = f(x) называется логарифмической производной этой функции:

.

Найти логарифмическую производную, если:

а) ; б);

в) ; г).

Найти у_х если:

985. а) ; б) .

986. а) ; б);

24

в) ; г).

999. Исследовать на дифференцируемость:

а) y =  (x – 1)(х – 2)²(х – 3)³ ; б) y =  cosx ;

в) y =  ² – х²   sin²x; г) y = arcsin(cosx).

1004. Для f(x) определить левую f_–(x) и правую f₊(x) производную, если .

1036. Определить область существования обратных функций

х = х(у) и найти х_у если:

а) y = x + lnx; б) y = shx; в) y = x + e^x; г) y = thx.

Найти у_х, если:

1040. .1041. .

1044. .1048. х² + 2ху – у² = 2х.

1054. Найти у_х, если:

а)  = а (спираль Архимеда); б)  = а(1 + cos) (кардиоида);

в)  = ае^m (логарифмич. спираль); ,  – полярные координаты.

3.

Задачи для решения. Демидович 1087, 1088, 1090,

1092, 1093,1094, 1096, *, 1100, 1102, 1103, 1105.

Найти dy, если:

1087. .1088. .

1090. Найти:

а) d(xe^x); б) d(sinx – хcosx); в) ;

25

г) ; д); е);

Найти dy, если :

1092. .1093. .1094. .

1096. Найти: г) ; д).

*. Найти: а) ; б).

Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:

1100. а) ; б) sin29.

1102. arctg1,05. 1103 lg11.

1105. Доказать приближенную формулу:

(а > 0),

где  х << a и с ее помощью вычислить:

а) ; б); в); г).

4.

Задачи для решения. Демидович 1125,1128,

1132,1133, 1141,1142, 1144, 1156, 1158,1159,

1161,1165, 1166, 1169, 1173, 1189, 1207, *.

Найти :1125. y = f(x²); 1128. y = f(lnx).

Найти d²y: 1132. .1133. y = x^x.

Найти :

1142. .1144. .1141. ;

1056. у = x(2x – 1)²(х + 3)³; у⁽⁶⁾, у⁽⁷⁾ – ?

26

Найти производные указанного порядка:

1158. у⁽¹⁰⁾ – ? 1159. ;y⁽⁸⁾ – ?

1161. ; y⁽²⁰⁾ – ? 1165. ; y⁽⁵⁰⁾ – ?

1166. ; у – ? 1169. y = e^xcosx; y^IV – ?

1173. Найти d¹⁰y, если y = xcos2x.

Найти y⁽ⁿ⁾: 1189. . 1207. y = e^xsinx.

*. Найти d²f, если f = f(1 + x²), где x = sint.