14. Оптимизация структуры обслуживающих систем как смо с простейшими потоками

Постановка задачи. Известны основные технико-экономические по­казатели функционирования обслуживающей системы как одноканальной замкнутой СМО с простейшими потоками.:

С_Кп, Скр - средние затраты, связанные с простоем и работой канала обслуживания (наладчик, ремонтная бригада, ...) в единицу времени, руб.;

Стп, Стр - средние затраты, связанные с простоем и работой требова­ния (станок, прибор, оборудование) в единицу времени, руб.;

Я - интенсивность поступления одного требования на обслуживание; fi - интенсивность обслуживания каналом.

Требуется определить оптимальную структуру производственной сис­темы, т. е. какое число требований (станков, приборов, ...) должен обслу­живать канал обслуживания, чтобы себестоимость обслуживания требова­ний была минимальна.

Выявление основных особенностей взаимосвязей и количествен­ных закономерностей. Используя логико-аналитический анализ, критерий оптимизации (себестоимость обслуживания требований) может быть запи­сан в таком виде:

Где: P₀ - вероятность простоя канала обслуживания;

т - число обслуживаемых требований в системе

Nсист - число требований, находящихся в системе.

Оговорим некоторые особенности функционирования одноканальной замкнутой производственной системы (наладчик - станки, ремонтная бригада- оборудование, ...). Допустим, что: вероятность поступления одного требования на обслуживание не зависит вероятности поступления другого, т. е. мы имеем производственную систему без последействия;

вероятность поступления на обслуживание сразу двух и более требований равна нулю или столь мала, что ею можно пренебречь, т. е. мы имеем производственную систему с ординарным потоком требований, нуждающихся обслуживании.

вероятность поступления требования на обслуживание зависит только от интервала, но не зависит от расположения этого интервала на оси времени, е. мы имеем производственную систему со стационарным потоком поступления требований на обслуживание.

И так, мы имеем простейший поток, который обладает одновременно свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия. Тогда вероятность простоя канала обслуживания определяется так.

Число требований, находящихся в системе обслуживания равны.

Построение математической модели. Преобразуем исходное выражение критерия оптимизации так, чтобы можно было выделить в нем час- и, независящие и зависящие от числа обслуживаемых машин - т.

В результате такого преобразования в критерии оптимизации выделе­ны три части, из которых второй и третий члены не зависят от числа об­служиваемых машин m, а первый член зависит. Обозначим второй и третий члены через y₁ и несколько преобразуем первый член, тогда получим:

Исследование математической модели. Анализируя полученную ма­тематическую модель, можно заметить, что искомый параметр - число тре­бований, которые может эффективно обслуживать канал обслуживания, принимает только целочисленное значение, следовательно, классические методы оптимизации в этой ситуации неприменимы.

Для поиска оптимума воспользуемся следующим неравенством:

Если число обслуживаемых требований в системе мало, то будут зна­чительные простои канала обслуживания, если же наоборот, то будет велик простой требований. И в том, и в другом случае производственная система будет неэффективна.

Подставим в исходное неравенство математические выражения крите­рия оптимизации с соответствующим числом обслуживаемых требований: (т-1), т и (т+1), При этом часть критерия оптимизации –y1, которая не зависят от числа обслуживаемых машин т, может быть опущена:

Разделим все части неравенства на выражение, стоящего в числителе сред­него члена , а затем в левой и правой частях неравенства на.

После некоторых преобразований получим следующее неравенство:

Для того, чтобы определить оптимальное число требований в произ­водственной системе т_ОПТ, необходимо протабулировать полученное нера­венство для различных значений т. Те из значений, которые будут удовле­творять неравенству, и будут искомыми оптимальными значениями.

Для облегчения поиска оптимальной структуры одноканальной замк­нутой производственной системы, для различных коэффициентов С и ко­эффициентов загрузки ψ проведены расчеты и результаты расчетов представлены в табл. 5.1.

Оптимальное планирование производства при различных видах спроса.