2. «ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ И ИХ ВЗАИМОРАСПОЛОЖЕНИЕ»

2.1. Построение следов плоскости

Каждый след плоскости представляет собой прямую, для построения которой нужно знать либо две точки, либо одну точку и направление. Двумя точками, с помощью которых определяется положение следа плоскости, могут быть одноименные следы двух прямых, принадлежащих плоскости. В качестве одной из точек может быть использована точка схода следов на оси проекций.

На рис. 2.1 показано построение следов плоскости, заданной треугольником BCD. Чтобы построить фронтальный след РV плоскости BCD, находим фронтальные следы прямых CD и ВС (точки N и N1) в следующей последовательности:

а) продолжаем горизонтальную проекцию cd стороны треугольника CD до пересечения с осью Ох в точке п;

б) из точки п восстанавливаем перпендикуляр к оси Ох;

в) продолжаем фронтальную проекцию CD (c'd') до пересечения с перпендикуляром;

г) на пересечении получаем фронтальный след прямой CD – точку N≡п'. Затем аналогично строим фронтальный след прямой ВС –

точку N1≡п1′. Фронтальный след РV плоскости Р будет проходить через

точки N и N1.

Горизонтальный след плоскости РН строится аналогично. Следует отметить, что в данном случае для построения следа РН достаточно иметь горизонтальный след только одной прямой, например, ВD – точку М. Второй точкой, определяющей положение следа РН, будет точка схода следов РХ (точка пере-

Рис. 2.1 сечения ранее построенного следа РV с осью Ох).

2.2. Определение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Таким образом поставленная задача сводится к проведению через точку А прямой, перпендикулярной к плоско-

11

сти, нахождению точки встречи этой прямой с плоскостью и определению истинной величины отрезка прямой, заключенного между точкой А и точкой встречи. Как известно, если прямая перпендикулярна плоскости, то ее проекции перпендикулярны одноименным следам или соответствующим проекциям линий уровня этой плоскости (горизонтали и фронтали).

2.2.1. Определение расстояния от точки А до плоскости треугольника BCD

Проведем в плоскости треугольника BCD (рис. 2.2) горизонталь ВI (b1; b′1′) и фро нталь СII (с2; с′2′) и опустим из точки а′ перпендикуляр на

прямую с′2′, а из точки а - перпендикуляр на прямую b1. Основанием перпендикуляра является точка его пересечения с плоскостью BCD.

Для того, чтобы найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью заключаем перпендикуляр в горизонтально проецирующую плоскость R, которая пересекает плоскость треугольника BCD по прямой MN (mn; m'n'). На пересечении m'n' с фронталь-

Рис. 2.2 ной проекцией перпендикуляра находим фронтальную проекцию его осно-

вания - точку k′. Спроецировав точку

k′ на горизонтальную проекцию линии MN (mn), получим точку k. Натуральную величину перпендикуляра АК определим способом прямoугольного треугольника как длину гипотенузы

A0k′треугольника A0 a′k′.

2.2.2 Определение расстояния от точки А до плоскости Р, заданной следами

12

Чтобы ее найти, заключаем перпендикуляр в горизонтально проецирующую

плоскость T, которая пересекает плоскость Р по прямой MN (mn; m′n'). На пересечении фронтальной проекции прямой с фронтальной проекцией пер-

пендикуляра находим фронтальную проекцию его основания – точку k′.

Спроецировав точку k′ на горизонтальную проекцию линии MN (mn), получим точку k. Натуральную величину перпендикуляра АК определим способом прямoугольного треугольника.

2.3.Построение плоскости S (SH; SV), параллельной плоскости Р

иотстоящей от нее на три масштабные единицы

На натуральной величине перпендикуляра АК (рис. 2.4) откладываем от точки k′ три масштабные единицы (30 мм) – получаем точку 30. Опустив из этой точки перпендикуляр на фронтальную проекцию отрезка а'k′, получим

точку 3′, а затем в проекционной связи точку 3 на горизонтальной проекции перпендикуляра аk.

Рис. 2.4

Проводим через точку (3, 3') горизонталь искомой плоскости S параллельно произвольной горизонтали плоскости Р. Ее горизонтальная проекция должна проходить через точку 3, параллельно следу РН, а фронтальная проекция - через точку 3', параллельно оси проекций. Найдя фронтальный след

этой горизонтали N2≡п2', проводим следы искомой плоскости: сначала фронтальный след SV через точку N2≡п2', параллельно следу РV до пересечения с

13

осью проекций в точке SХ, а затем через эту точку - горизонтальный след SH,

параллельно следу РН.

2.4. Проведение через произвольно взятую точку Е плоскости R, перпендикулярной к заданной прямой

R(h×f), проведенная через произвольную точку Е (е; е′), на рис. 2.5. Нахож-

дение точки К(k, k′) пересечения стороны BD с плоскостью R показано на рисунке.

Второй способ. Через произвольно взятую точку Е проводим горизонталь: фронтальную проекцию горизонтали параллельно оси проекций Ох, а горизонтальную проекцию – перпендикулярно bс (рис. 2.6). Через фронтальный след гори-

зонтали N≡n′ проводим фронтальный след

плоскости RV перпендикулярно b′с′. Из точки RХ проводим горизонтальный след плоскости RН перпендикулярно bс. Для нахождения точки пересечения прямой ВС с плоскостью R заключаем прямую ВС в горизонтально проецирующую плоскость Т. Находим линию пересечения

14

2.5. Определение угла наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций

Для определения угла α наклона плоскости треугольника BCD к горизонтальной плоскости проекций Н используем линию наибольшего наклона (ската) плоскости.

Линиями наибольшего ската называют прямые данной плоскости, перпендикулярные к линиям уровня этой плоскости. Поэтому из точки d проводим горизонтальную проекцию линии наибольшего ската (ГП ЛНС) плоскости BCD под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали – получаем точку 2 (рис. 2.7). Затем строим фронтальную проек-

цию этой точки - 2′. Фронтальная проекция линии наибольшего ската (ФП ЛНС) пройдет через точки d′ и

2′. Натуральную величину линии наибольшего ската DII определим способом прямoугольного треуголь-

ника. Угол α между линией наибольшего ската и ее горизонталь-

ной проекцией определяет наклон плоскости BCD к плоскости Н.

15

3. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

Наиболее простое и точное решение задач удается получить, если заданные геометрические фигуры приведены в определенное частное положение относительно плоскостей проекций. Это достигается следующими способами:

1.оставляя проецируемый объект (фигуру) в заданном полож ении, изменяют положение плоскостей проекций относительно объекта (способ замены плоскостей проекций);

2.оставляя плоскости проекций в заданном положении, из меняют положение проецируемого объекта (фигуры) относительно этих плоскостей (способ вращения).

3.1.Способзаменыплоскостейпроекций

Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что заданную систему плоскостей проекций заменяют новой системой так, что геометрические фигуры оказываются в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций.

Рис. 3.1

Проследим, как изменятся проекции точки B, если плоскость V заменить на новую плоскость проекций V1 (рис. 3.1, а) . Плоскость V1 проводим перпендикулярно плоскости Н, положение которой остается без изменения. Плоскости Н и V1 пересекутся по прямой 0х1, определяющей новую ось проекций. В новой системе плоскостей проекций вместо проекций b и b' получим новые проекции b и b1′. Легко убедиться, что расстояние от новой проекции точки b1′ до новой оси 0х1

16

(координата Z) равно расстоянию от заменяемой проекции b' до заменяемой оси 0х. Чтобы перейти от пространственного чертежа к эпюру, нужно совместить плоскость V1 с плоскостью Н. На эпюре (рис. 3.1, 6) для построения новой проекции b1′ используем неизменность координаты Z точки B. Для этого достаточно из горизонталь ной про-

екции b провести перпендикуляр к новой оси 0х1 и от точки bX1 от-

перь не изменяется фронтальная проекция точки b', для построения новой горизонтальной проекции b1 необходимо из сохраняемой фронтальной проекции b' провести линию связи к новой оси 0х1 и отложить от новой оси расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции b до заменяемой оси 0х.

Замена плоскостей проекций может осуществляться только п о- следовательно, нельзя менять обе плоскости сразу.

Рассмотрим на примерах, как производится з амена плоскостей проекций и строятся новые проекции фигур.

Задача 1. Определить длину отрезка прямой АВ общего положе-

ния.

Заменяем плоскость V плоскостью V1, параллельной отрезку АВ (рис. 3.2, а). Проводим новую ось Х1 параллельно ab и на перпендикулярах, проведенных к ней из точек а и b, откладыва-

ем аX1а1′ = аxа' и bX1b1′ =

bxb'. Получаем новую про-

екцию a1′b1′ = AB и одновременно угол α

наклона прямой к пло с- кости Н.

Если плоскость Н заменим плоскостью H1 параллельной отрезку АВ (рис. 3.2, б), то получим

а1b1 = АВ и угол β накло- Рис. 3.2 на прямой к плоскости V.

Задача 2. Определить

натуральную величину треугольника ABC.

Задача решается последовательной заменой двух плоскостей проек-

ций.

17

Сначала плоскость V заменяем плоскостью V1, перпендикулярной к плоскости треугольника (рис. 3.3). Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь

AD (ad, a'd') и новую ось

Х1 располагаем перпендикулярно к ad. На новой плоскости проек-ций треугольник спроецируется в прямую b1′а1 ′с1 . На втором этапе плоскость Н заменяем плоскостью Н1,

параллельной плоскости треугольника, располагая ось Х2 параллельно прямой b1′а1 ′с1′. По-строенная проекция a1b1с1 определяет нату-ральную величину и форму треугольника ABC.

Задача 3. Определить расстояние от точки А (а, а') до плоскости Р, заданной следами PH и PV (рис. 3.4).

Задача решается путем замены одной из плоскостей проекций новой, относительно которой плоскость Р будет проецирующей.

Заменим, например, плоскость V плоскостью V1, перпендикулярной к плоскости Р. Новую ось X1 проводим перпендикулярно к следу РН. Выбираем на следе PV произвольную точку N (п, п') и находим ее новую проекцию п1 ′,

откладывая nX1n1′ = nxn' = yN. Через точки PX1 и п1 ′ проводим новый след PV1. По-

строив новую проекцию a1 ′ и опустив из нее перпендикуляр на PV1, определяем расстояние от точки А до плоскости Р, которое равно отрезку a1′k1′. После этого опре-деляем на первона- чаль-ном чертеже положение проекции основания перпендикуляра (k, k′).

Рис.3.4

18

3.2. Способ вращения

Сущность способа вращения состоит в изменении положения объекта, заданного на эпюре, таким образом, чтобы определенные его элементы заняли относительно плоскостей проекций частное положение и проецировались без искажений.

Рассмотрим следующие разновидности способа вращения: вращение вокруг линий уровня и совмещение.

При вращении важно правильно определить его элементы: ось, а также плоскость, центр, радиус и угол вращения.

3.2.1. Вращение вокруг линий уровня

Одним поворотом вокруг горизонтали или фронтали можно расположить плоскую фигуру или плоский угол параллельно одной из плоскостей проекций и тем самым определить их натуральную величину.

На рис. 3.5 показаны построения при вращении точки D вокруг горизонтали до положения, при котором радиус вращения RD = DO становится параллельным плоскости H и проецируется на нее в натуральную величину, т.е. d1o = D1O = DO.

Рис. 3.5

Построения на эпюре сводятся к определению способом прямоугольного треугольника длины радиуса вращения RD и откладыванию ее на перпендикуляре, проведенном из точки d к горизонтали I (i, i′). Точка D (d, d') перемещается в положение D1 (d1, d1′).

Задача. Определить натуральную величину треугольника ABC

(рис. 3.6).

В плоскости треугольника АВС (аbс, а′b'с') проводим горизонталь СD (cd, c'd') и вращаем вокруг нее заданный треугольник до положения, при котором он станет параллельным плоскости Н. Точки С (с, с') и D (d, d') неподвижны. Для определения повернутого положения вершины А определяем

19

величину радиуса RA способом прямоугольного треугольника и откладываем ее на перпендикуляре к cd, опущенном из точки а. Получаем точку а1.

Положение точки b1 определяем, проводя прямую а1d до пересечения с перпендикуляром, опущенным из точки b на cd.

Горизонтальная проекция треугольника а1b1c1 по величине равна треугольнику AВС. Новая фронтальная проекция представляет собой прямую, совпадающую с с'd'.

нии уровня плоскости.

Способ совмещения заключается в том, что заданную плоскость Р вместе с расположенными в ней геометрическими элементами вращают вокруг одного из ее следов РН или РV до совмещения с соответствующей плоскостью проекций Н или V.

Все геометрические элементы (прямые и другие линии, фигуры), лежащие в заданной плоскости, изображаются в натуральную величину на плоскости проекций, с которой производится совмещение. Совмещение позволяет найти величину плоской фигуры по ее проекциям или построить проекции плоской фигуры, лежащей в какой-либо плоскости, по заданным ее размерам.

Если плоскость задана следами, то задача совмещения ее с плоскостью проекций сводится к построению совмещенного положения одного из следов, так как другой след, принимаемый за ось вращения, не мен я- ет своего положения.

Как видно из рис. 3.7 , для определения совмещенного следа Pv0 при вращении плоскости Р вокруг следа РH достаточно найти совмещенное положение N0 любой точки N следа РV. На рис. 3.7 показано также совмещение точки А (а, а'), лежащей в плоскости Р, с плоскостью Н при использовании горизонтали.

Задача. Найти натуральную величину треугольника ABC, расположенного в плоскости Р общего положения (рис. 3.8).

20

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ

4.1.Общие сведения

Вобщем случае, для того чтобы построить линию пересечения поверхности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхности, так и плоскости, а затем эти точки соединить плавной кривой или ломаной линией.

Для нахождения произвольной точки линии пересечения, необходимо: 1. рассечь заданные фигуры вспомогательной плоскостью; 2. найти линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с задан-

ной плоскостью; 3. на пересечении найденных линий получить искомые точки (чаще

всего - две).

Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек.

Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проецировалась на плоскости проекций в виде простейших линий - прямой или окружности.

При построении линии пересечения находят, прежде всего, ее характерные (опорные) точки, а затем, по мере необходимости, промежуточные точки.

Характерные точки определяют характер линии пересечения и ее видимость. К ним относятся: экстремальные точки (высшая и низшая, крайняя левая и крайняя правая, ближняя и дальняя); точки, лежащие на проекциях очерка поверхности; точки, лежащие на проекциях осей поверхности.

Среди характерных точек выделяются очевидные точки, которые для своего нахождения не требуют дополнительных построений, а определяются при помощи линий проекционной связи. В некоторых случаях одна и та же точка может выполнять несколько функций.

Промежуточные точки выделяются на заданной линии для более точного графического построения искомой проекции линии.

Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то линию пересечения можно найти также следующим образом: нанести на поверхности ряд образующих и найти точки их пересечения с плоскостью, а затем соединить эти точки плавной кривой линией.

При построении сечения гранных поверхностей плоскостью используют два способа: способ граней – определяются стороны многоугольника сечения; способ ребер – определяются вершины многоугольника сечения.

Построение сечений значительно упрощается, если секущая плоскость является проецирующей. В этом случае одна проекция сечения совпадает с проецирующим следом плоскости.

22