metod_ek
.pdf
|
56 |
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
производства |
52 |
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объём |
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
99 |
99 |
100 |
100 |
101 |
|
Средний %выполнения нормы |
||||
Коэффициент корреляции |
|
|
|
||
|
Sxy |
|
|
|
|
rxy = |
SxSy , |
|
|
|
|
Sxy = (nΣxy – ΣxΣy)/n(n – 1) = (11 57694,166 – 1095,874 579,074 )/(11 10) ≈ 0,397; |
|||||
rxy = 0,397/(0,336 1,865) ≈ 0,634 . |
|
|
|||
Определяем |
|
|
|
|
|
Fнабл = SR2(n – p – 1)/(Sε2 p) = (3,477 – 2,080)(11 – 1 – 1)/(1,865 1) ≈ 6,041; |
|||||
по таблице для 5% уровня значимости и степеней f1 = 1, f2 = 9 |
|||||
F0.05;1;9 = 5,12. |
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
Fнабл > F0.05;1;9 |
|
|
|
|
|
следует сделать вывод о значимости полученного уравнения регрессии. |
|||||
Tнабл = r n – p – 1 |
= 0,634 |
9 / 1 – 0,6342 |
≈ 2,458; |
||
|
1 – r2 |
|
|
|
|
критическое табличное значение |
|
|
|||
T0,05;9 = T0,05;9 = 2,26. |
|
|
|
||
Так как Tнабл > T0,025;10 делаем вывод о значимости коэффициента корреляции и отклоняем |
|||||
гипотезу об отсутствии линейной корреляционной связи. |
|||||
Доверительные интервалы для b1 |
|
|
|||
b1 – T0,05;9 Sb1 ≤ β1 ≤ b1 + T0,05;9 Sb1; |
|
|
|||
T0,05;10 = 2,26; |
|
|
|
|
|
Sb1 = Sε/(Sx1 n – 1 ) = 1,442/(0,336 |
10 ) ≈ 1,357; |
||||
T0,05;9 Sb1 = 2,26 1,357 ≈ 3,067; |
|
|
|||
теперь получаем доверительные границы |
|
||||
3,517 – 3,067 ≤ β1 ≤ 3,517 + 3,067, |
|
|
|||
0,449 ≤ β1 ≤ 6,584 |
|
|
|
|
|
Из значимости коэффициента корреляции и достаточной степени надёжности уравнения |
|||||
регрессии можно сделать вывод о существовании линейной зависимости между средним |
|||||
процентом выполнения нормы и объёмом производства. |
|||||
^
3. Множественная модель регрессии y = f(x1,x2) = b0 + b1x1 + b2x2
Из системы нормальных уравнений
b0 = 0 ; b1 = 1 ; b2 = 2 ; |
|
||
|
n |
Σx1 |
Σx2 |
|
|||
= |
Σx1 |
Σx12 |
Σx2x1 |
|
Σx2 |
Σx2x1 |
Σx22 |
|
Σy |
Σx1 |
Σx2 |
|
|||
0 = |
Σyx1 |
Σx12 |
Σx2x1 |
|
Σyx2 |
Σx2x1 |
Σx22 |
|
n |
Σy |
Σx2 |
|
|||
1 = |
Σx1 |
Σyx1 |
Σx2x1 |
|
Σx2 |
Σyx2 |
Σx22 |
|
n |
Σx1 |
Σy |
2 = |
Σx1 |
Σx12 |
Σyx1 |
|
Σx2 |
Σx2x1 |
Σyx2 |
Все элементы определителей уже подсчитаны ранее, кроме Σx2x1:
№ |
х1 |
х2 |
x1x2 |
1 |
16,334 |
99,534 |
1625,7884 |
2 |
16,834 |
98,934 |
1665,455 |
3 |
18,534 |
99,234 |
1839,203 |
4 |
16,334 |
99,334 |
1622,5216 |
5 |
17,934 |
99,834 |
1790,423 |
6 |
17,434 |
99,634 |
1737,0192 |
7 |
16,134 |
99,834 |
1610,7218 |
8 |
16,234 |
99,734 |
1619,0818 |
9 |
17,034 |
99,834 |
1700,5724 |
10 |
16,734 |
99,934 |
1672,2956 |
11 |
17,534 |
100,034 |
1753,9962 |
Сумма |
187,074 |
1095,874 |
18637,078 |
Далее вычисляем
|
|
11 |
187,1 |
1095,9 |
|
0 |
= |
187,1 |
3187,5 |
18637,1 |
= 74,5344 |
|
|
1095,874 |
18637,08 |
109177,5 |
|
|
|
|
187,074 |
1095,874 |
|
|
|
579,07 |
|
||
1 |
= |
9855,54 |
3187,538 |
18637,08 |
= -25189,425 |
|
|
57694,17 |
18637,08 |
109177,5 |
|
|
|
|
579,07 |
1095,874 |
|
|
|
11 |
|
||
2 |
= |
187,074 |
9855,54 |
18637,08 |
= 98,3646 |
|
|
1095,874 |
57694,17 |
109177,5 |
|
|
|
|
187,074 |
579,07 |
|
|
|
11 |
|
||
3 |
= |
187,074 |
3187,538 |
9855,54 |
= 275,436 |
|
|
1095,874 |
18637,08 |
57694,17 |
|
b0 = -25189,425/74,534 ≈ –337,96; b1 = 98,365/74,534 ≈ 1,320; b2 = 275,436/74,534 ≈ 3,695.
Модель регрессии
^ = –337,96 + 1,32x + 3,695x
y 1 2
Коэффициент корреляции
|
––– |
– – |
|
18637,078 |
– 99,62 17,01 |
|
|
rx1x2 = |
x1x2 |
– x1x2 |
= |
11 |
|
≈ –0,053; |
|
σx1σx2 |
|
0,776 0,336 |
|||||
Определитель матрицы парных коэффициентов корреляции
1 |
0,510 |
0,634 |
|
0,510 |
1 |
-0,053 |
= 0,301 |
0,634 |
-0,053 |
1 |
|
Определитель матрицы межфакторной корреляции
|
1 |
|
|
-0,053 |
= 0,997 |
|
||||||
|
-0,053 |
|
|
1 |
|
|
||||||
Коэффициент множественной корреляции |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,301 |
|
|
|
|
||
R = Ryx1x2 = |
1 – |
0,997 ≈ 0,836. |
|
|||||||||
F–критерий |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R2 |
n – m – 1 |
|
0,8362 |
|
11 – 2 – 1 |
|
||||
F = |
|
|
|
m |
|
= |
|
|
2 |
= 9,262; |
||
1 – R2 |
|
|
1 – 0,8362 |
|||||||||
табличное значение для α = 0,05
F0,05;8;2 = 4,46.
Так как F > F0,05;8;2 модель регрессии является значимой. Тесноту связи можно характеризовать как тесную положительную.
Частные F–критерии |
|
|
|
|
|
|||
Fx1 = |
R2 – r2yx2 |
|
n – m – 1 |
|
0,8362 – 0,6342 |
11 – 2 – 1 |
|
|
1 – R2 |
|
1 |
= |
1 – 0,8362 |
|
1 |
= 7,871; |
|
табличное значение для α = 0,05
F0,05;8;1 = 5,32.
Так как Fx1 > F0,05;8;1 целесообразно включать фактор x1 после фактора х2.
Fx2 = |
R2 – r2yx1 |
|
n – m – 1 |
|
0,8362 – 0,512 |
11 – 2 – 1 |
|
|
1 – R2 |
|
1 |
= |
1 – 0,8362 |
|
1 |
= 11,620; |
|
Так как Fx2 > F0,05;8;1 целесообразно включать фактор x2 после фактора х1.
13.3. Парная нелинейная регрессия
По 8 продовольственным магазинам имеются следующие данные:
Товарооборот, тыс. руб. |
7 |
10 |
15 |
20 |
30 |
45 |
60 |
120 |
Уровень издержек |
10 |
9 |
7,2 |
6 |
6,3 |
5,8 |
5,4 |
5 |
обращения по отношению к |
|
|
|
|
|
|
|
|
товарообороту, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Найдите уравнение корреляционной связи товарооборота и уровня издержек обращения.
б) Изобразите графически корреляционную связь.
в) Вычислите коэффициенты эластичности, показатели тесноты корреляционной связи
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
Изобразим графически приведённые данные |
|
|
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
, % |
6 |
|
|
|
|
|
|
Издержки |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
|
|
|
Товарооборот, тыс. руб. |
|
|
||
Как видно, зависимость между показателями нелинейная. Будем искать регрессионную |
|||||||
зависимость в виде |
|
|
|
|
|
|
|
y = axb; |
|
|
|
|
|
|
|
переходя к логарифмам, получаем линейную зависимость |
|
|
|||||
lny = lna + blnx |
|
|
|
|
|
|
|
y* = a* + bx*,
где y = lny, x* = lnx.
Определяем коэффициенты а*, b для модифицированных данных. Основные вычисления приведены в следующей таблице.
№ |
x*=lnx |
y*=lny |
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
1 |
1,95 |
2,30 |
3,79 |
5,30 |
2 |
2,30 |
2,20 |
5,30 |
4,83 |
3 |
2,71 |
1,97 |
7,33 |
3,90 |
4 |
3,00 |
1,79 |
8,97 |
3,21 |
5 |
3,40 |
1,84 |
11,57 |
3,39 |
6 |
3,81 |
1,76 |
14,49 |
3,09 |
7 |
4,09 |
1,69 |
16,76 |
2,84 |
8 |
4,79 |
1,61 |
22,92 |
2,59 |
Итого |
26,04 |
15,16 |
91,14 |
29,15 |
коэффициенты а*, b определяем из известных соотношений
а* = ΣyiΣxi2 - ΣxiΣxiyi = (15,15 91,14 − 26,04 47,81)/(8 91,14 − 26,042) ≈ 2,68; nΣxi2 – (Σxi)2
b = nΣxiyi - ΣxiΣyi = (8 47,81 − 26,04 15,16)/(8 91,14 − 26,042) ≈ −0,24. nΣxi2 – (Σxi)2
По величине а* = 2,68 потенцированием находим коэффициент а:
а = е2,68 ≈ 14,58.
Таким образом, корреляционная связь между показателями y = 14,58x−0,24.
Строим корреляционную связь по следующей таблице
Товарообо |
y = 14,58x-0,24 |
рот, Х |
|
7 |
9,12 |
|
|
10 |
8,37 |
|
|
15 |
7,59 |
|
|
20 |
7,08 |
|
|
30 |
6,42 |
|
|
45 |
5,82 |
|
|
60 |
5,43 |
|
|
120 |
4,60 |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
Вместе с исходными данными получаем следующую диаграмму |
|
||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
, % |
6 |
|
|
|
|
|
|
Издержки |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
|
|
|
Товарооборот, тыс. руб. |
|
|
||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
Теснота связи характеризуется индексом корреляции |
|
|
|||||
|
^ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = |
1 − |
∑(y − yx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ |
|
∑(y − yx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx − теоретическое значение показателя y; |
|
|
|
|
|
|||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx − среднее значение y. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Необходимые вычисления приведены в следующей таблице |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Товарообо |
Уровень |
− |
2 |
^ |
^ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
издержек, |
|||||
|
|
|
|
|
|
рот, Х |
(у - yx) |
|
yx |
(y - yx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
10 |
10,00 |
|
9,12 |
0,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
10 |
9 |
4,68 |
|
8,37 |
0,40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
15 |
7,2 |
0,13 |
|
7,59 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
4 |
20 |
6 |
0,70 |
|
7,08 |
1,17 |
|
|
|
|
|
|
5 |
30 |
6,3 |
0,29 |
|
6,42 |
0,02 |
|
|
|
|
|
|
6 |
45 |
5,8 |
1,08 |
|
5,82 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
7 |
60 |
5,4 |
2,07 |
|
5,43 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
8 |
120 |
5 |
3,38 |
|
4,60 |
0,16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
307 |
54,7 |
22,32 |
|
- |
2,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
средние |
38,38 |
6,84 |
- |
- |
- |
ρ = |
1 − |
2,67 |
|
≈ 0,94. |
|
|
|
|
||
22,32 |
|
|
|
|
|
|||||
Коэффициент эластичности для степенной зависимости равен показателю степени Э = −0,24.
Это значит, что при возрастании товарооборота на 1% уровень издержек по отношению к величине товарооборота уменьшится в среднем на 0,24%.
13.4. Система одновременных уравнений
Пример 1.
Рассмотрим следующую модель одновременных уравнений
y1 = b12y2 + a11x1 + a12x2 + ε1; y2 = b21y1 + a22x2 + a23x3 + ε2; y3 = b31y1 + a33x3 + ε3.
1)Определить степень идентифицируемости каждого уравнения.
2)Составить приведённую форму.
Решение
1)
В первом уравнении две эндогенные переменные y1, y2 и отсутствует одна экзогенная, поэтому
P = 2, Q = 1, P = Q + 1,
выполнено необходимое условие идентификации.
Достоточное условие идентификации. Отсутствуют переменные y3, x3; матрица коэффициентов при этих переменных
0 а23
−1 a33
определитель этой матрицы не равен нулю, и ранг равен двум, что на единицу меньше количества эндогенных переменных. Поэтому достаточное условие идентификации выполняется.
Во втором уравнении две эндогенные перменные y1, y2 и отсутствует одна экзогенная, поэтому
P = 2, Q = 1, P = Q + 1,
выполнено необходимое условие идентификации.
Достоточное условие идентификации. Отсутствуют переменные y3, x1; матрица коэффициентов при этих переменных
0 а11
−1 0
определитель этой матрицы также не равен нулю, ранг равен количеству эндогенных переменных минус единица. Поэтому достаточное условие идентификации для второго уравнения выполняется.
Третье уравнение сверхидентифицируемо, поскольку
P = 2, Q = 2, P < Q + 1.
2)
Запишем систему как
y1 − b12y2 = a11x1 + a12x2 + ε1; y2 − b21y1 = a22x2 + a23x3 + ε2;
y3 − b31y1 = a33x3 + ε3;
определители системы
1 −b12 0
= |
−b21 |
1 |
0 |
= 1 − b12b21 |
|
|
−b31 |
0 |
1 |
|
|
a11x1 + a12x2 + ε1 |
−b12 |
0 |
|
||
1 = a22x2 + a23x3 + ε2 |
1 0 |
= a11x1 + a12x2 + ε1 + b12(a22x2 + a23x3 + ε2) = |
|||
|
|
a33x3 + ε3 |
0 |
1 |
|
= a11x1 + (a12 + b12a22)x2 + b12a23x3 + ε1 + b12ε2;
1 |
a11x1 + a12x2 + ε1 |
0 |
|
2 = −b21 |
a22x2 + a23x3 + ε2 |
0 |
= a22x2 + a23x3 + ε2 + b21(a11x1 + a12x2 + ε1) = |
−b31 |
a33x3 + ε3 |
1 |
|
= a11b21x1 + (a22 + b21a12)x2 + a23x3 + ε2 + b21ε1;
|
|
|
|
|
1 |
−b12 |
a11x1 + a12x2 + ε1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 = |
−b21 |
1 |
a22x2 + a23x3 + ε2 |
= a33x3 + ε3 + b12b31(a22x2 + a23x3 + ε2) + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
−b31 |
0 |
|
a33x3 + ε3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ b31(a11x1 + |
a12x2 + ε1) − b12b21(a33x3 + ε3) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= a11b31x1 + (a22b12b31 + a12b31)x2 + (a33 + a23b12b31 − a33b12b21)x3 + b31ε1 + b12b31ε2 + (1 − |
|
||||||||||||||||||
b12b21)ε3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
получаем приведённую систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y1 |
= |
|
a11 |
x1 + a12 + b12a22 x2 + |
|
b12a23 |
x3 |
+ |
ε1 + b12ε2; |
|
|
|
|||||||
1 |
− b12b21 |
1 − b12b21 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 − b12b21 |
|
|
|
1 − b12b21 |
|
|
|
|||||||||
y2 |
= |
|
a11b21 |
x1 + a22 + b21a12 x2 + |
|
|
a23 |
|
x3 |
+ |
ε2 + b21ε1; |
|
|
|
|||||
1 |
− b12b21 |
1 − b12b21 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 − b12b21 |
|
|
|
1 − b12b21 |
|
|
|
|||||||||
y3 = |
|
a11b31 |
x1 + |
a22b12b31 + a12b31 |
x2 |
+ |
a33 + a23b12b31 − a33b12b21 |
x3 + |
b12b31ε2 + (1 − b12b21)ε3 |
. |
|||||||||
1 − b12b21 |
1 − b12b21 |
|
|
|
|
|
1 − b12b21 |
1 − b12b21 |
|||||||||||
Пример 2.
Рассмотрим следующую модель одновременных уравнений
y1 = b12y2 + a12x2 + ε1; y2 = b21y1 + a21x1 + ε2;
1)Определить степень идентифицируемости каждого уравнения.
2)Составить приведённую форму.
3)Идентифицировать систему.
По этой модели были сгенерированы данные со следующими исходными параметрами
a12 = 0,412; a21 = 0,192; b12 = 0,672; b21 = 0,137;
среднеквадратические отклонения
σε1 = 0,003; σε2 = 0,006.
Данные представлены в следующей таблице
№ |
y1 |
y2 |
x1 |
x2 |
1 |
1,241 |
0,187 |
0,1 |
2,71 |
2 |
1,854 |
0,301 |
0,2 |
4,034 |
3 |
2,549 |
0,401 |
0,3 |
5,53 |
4 |
3,144 |
0,516 |
0,4 |
6,807 |
5 |
4,708 |
0,734 |
0,5 |
10,23 |
6 |
5,13 |
0,82 |
0,6 |
11,13 |
7 |
5,099 |
0,844 |
0,7 |
11,03 |
8 |
5,635 |
0,927 |
0,8 |
12,17 |
9 |
4,53 |
0,798 |
0,9 |
9,714 |
10 |
7,426 |
1,217 |
1 |
16,06 |
11 |
5,269 |
0,939 |
1,1 |
11,28 |
Средн |
4,2 |
0,7 |
0,6 |
9,2 |
Решение
1)
В первом уравнении две эндогенные переменные y1, y2 и отсутствует одна экзогенная, поэтому
P = 2, Q = 1, P = Q + 1,
выполнено необходимое условие идентификации. Очевидно выполнено и достаточное условие идентификации, так как отсутствует переменная х1, коэффициент при которой во втором уравнении не равен нулю. Таким образом, первое уравнение идентифицируемо точно. Анлогично, второе уравнение также точно идентифицируемо.
2)
y1 = b12y2 + a12x2 + ε1; y2 = b21y1 + a21x1 + ε2;
y1 = b12(b21y1 + a21x1 + ε2) + a12x2 + ε1 = b12b21y1 + b12a21x1 + a12x2 + ε1 + b12ε2;
y1 |
= |
|
|
|
a21b12 |
|
x1 |
+ |
|
|
a12 |
|
|
|
x2 + |
ε1 + b12ε2; |
||||||||||||
1 |
− b12b21 |
1 |
− b12b21 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − b12b21 |
|||||||||||||||||
y2 = b21 |
|
b12a21 |
|
x1 + b21 |
|
|
a12 |
x2 + b21ε1 + b12ε2 + a21x1 + ε2 = |
||||||||||||||||||||
|
− b12b21 |
|
|
− b12b21 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 − b12b21 |
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
a21 |
|
x1 |
+ |
|
a12b21 |
|
x2 |
+ b21ε1 + ε2. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − b12b21 |
||||||||||||||||||||
|
1 − b12b21 |
|
|
|
|
|
|
1 − b12b21 |
||||||||||||||||||||
Получаем приведённую систему |
ε1 + b12ε2; |
|||||||||||||||||||||||||||
y1 |
= |
|
|
|
a21b12 |
|
x1 |
+ |
|
|
a12 |
|
|
|
x2 + |
|||||||||||||
1 |
− b12b21 |
1 |
− b12b21 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − b12b21 |
|||||||||||||||||
y2 |
= |
|
|
|
|
a21 |
|
x1 |
+ |
|
a12b21 |
|
x2 + b21ε1 + ε2; |
|||||||||||||||
1 |
− b12b21 |
1 |
− b12b21 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − b12b21 |
||||||||||||||||||
приведённые параметры |
|
|
|
|
|
= ε1 + b12ε2 ; |
||||||||||||||||||||||
δ11 |
= |
|
|
a21b12 |
; δ12 = |
|
a12 |
|
; u1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − b12b21 |
|
|
|
1 − b12b21 |
1 − b12b21 |
|||||||||||||||||
δ21 |
= |
|
|
|
|
a21 |
|
; δ22 = |
|
a12b21 |
|
; u2 |
= b21ε1 + ε2. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − b12b21 |
|
|
|
1 − b12b21 |
1 − b12b21 |
|||||||||||||||||
Получаем следующую приведённу модель
y1 = δ11x1 + δ12x2 + u1;
y2 = δ21x1 + δ22x2 + u2;
структурные коэффициенты по приведённым вычисляются следующим образом:
b12 = δ11 ; b21 = δ22 ;
δ21 δ12
a21 = δ21 − b21δ11; a12 = δ12 − b12δ22.
3)
Первое приведённое уравнение
y1 = δ11x1 + δ12x2 + u1.
Из системы нормальных уравнений
δ11 = 11 ; δ12 = 12 ;
|
−2 |
− − |
|
= |
Σx1 |
Σx2x1 |
|
− − |
−2 |
||
|
|||
|
Σx2x1 |
Σx2 |
|
|
− − |
− − |
|
|
|||
11 = |
Σx1y1 |
Σx2x1 |
|
− − |
−2 |
||
|
Σx2y1 |
Σx2 |
|
|
−2 |
− − |
|
|
|||
12 = |
Σx1 |
Σx1y1 |
|
− − |
− − |
||
|
Σx2x1 |
Σx2y1 |
Второе приведённое уравнение
y2 = δ21x1 + δ22x2 + u2.
Из системы нормальных уравнений
|
δ21 = |
21 |
|
; δ22 = |
22 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
|
|
Σx1 |
|
Σx2x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Σx2x1 |
|
Σx2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
21 = |
|
|
Σx1y2 |
|
Σx2x1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Σx2y2 |
|
Σx2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
22 = |
|
Σx1 |
|
Σx1y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Σx2x1 |
|
Σx2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее представлены |
численные расчёты |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
№ |
− |
|
− |
|
− |
|
− |
|
−2 |
|
−2 |
|
− − |
− − |
− − |
− − |
− − |
|||||
|
y1 |
|
y2 |
|
|
x1 |
|
x2 |
|
x1 |
|
x2 |
|
x1x2 |
x1y1 |
x2y1 |
x1y2 |
x2y2 |
|||||
|
1 |
-3,0 |
|
-0,5 |
|
-0,5 |
|
-6,4 |
0,25 |
|
41,526 |
3,222 |
1,497 |
19,3 |
0,256 |
3,3 |
|||||||
|
2 |
-2,4 |
|
-0,4 |
|
-0,4 |
|
-5,1 |
0,16 |
|
26,208 |
2,0478 |
0,952 |
12,19 |
0,159 |
2 |
|||||||
|
3 |
-1,7 |
|
-0,3 |
|
-0,3 |
|
-3,6 |
0,09 |
|
13,135 |
1,0873 |
0,506 |
6,11 |
0,089 |
1,1 |
|||||||
|
4 |
-1,1 |
|
-0,2 |
|
-0,2 |
|
-2,3 |
0,04 |
|
5,5089 |
0,4694 |
0,218 |
2,56 |
0,036 |
0,4 |
|||||||
|
5 |
0,5 |
|
0,0 |
|
-0,1 |
|
1,1 |
0,01 |
|
1,1556 |
-0,107 |
-0,05 |
0,508 |
-0 |
0 |
|||||||
|
6 |
0,9 |
|
0,1 |
|
0,0 |
|
|
2,0 |
|
0 |
|
3,8937 |
0 |
0 |
1,766 |
0 |
0,2 |
|||||
|
7 |
0,9 |
|
0,1 |
|
0,1 |
|
|
1,9 |
0,01 |
|
3,5211 |
0,1876 |
0,086 |
1,621 |
0,015 |
0,3 |
||||||
|
8 |
1,4 |
|
0,2 |
|
0,2 |
|
|
3,0 |
0,04 |
|
9,0873 |
0,6029 |
0,28 |
4,219 |
0,046 |
0,7 |
||||||
|
9 |
0,3 |
|
0,1 |
|
0,3 |
|
|
0,6 |
0,09 |
|
0,3137 |
0,168 |
0,088 |
0,165 |
0,03 |
0,1 |
||||||
|
10 |
3,2 |
|
0,5 |
|
0,4 |
|
|
6,9 |
0,16 |
|
47,723 |
2,7633 |
1,276 |
22,05 |
0,207 |
3,6 |
||||||
|
11 |
1,0 |
|
0,2 |
|
0,5 |
|
|
2,1 |
0,25 |
|
4,5257 |
1,0637 |
0,517 |
2,201 |
0,12 |
0,5 |
||||||
|
Всего |
0,0 |
|
0,0 |
|
0,0 |
|
|
0,0 |
|
1,1 |
|
156,6 |
11,5 |
5,4 |
72,7 |
1,0 |
12,2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1,1 |
|
11,5 |
|
|
= 39,9 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,50 |
156,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
11 = |
|
5,4 |
|
11,5 |
|
|
= 5,5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72,68 |
156,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
12 = |
|
1,1 |
|
5,4 |
|
|
= 18,1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,5 |
|
72,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21 |
= |
|
1,0 |
11,5 |
= 8,8 |
|
|
|
12,22 |
156,6 |
|
22 |
= |
|
1,1 |
1,0 |
|
|
= 2,5 |
||||
|
|
|
11,5 |
12,2 |
|
Находим приведённые коэффициенты
^ |
= |
11 |
= 5,5/39,9 = 0,138; |
δ11 |
|
||
^ |
= |
12 |
= 18,1/39,9 = 0,454; |
δ12 |
|
||
^ |
= |
21 |
= 8,8/39,9 = 0,222; |
δ21 |
|
||
^ |
= |
22 |
= 2,5/39,9 = 0,062. |
δ22 |
|
||
Теперь находим оценки структурных коэффициентов и их относительные ошибки |
|||
^ |
|
^ |
|
|
|
|0,623 − 0,672| |
|
|
|
δ11 |
= 0,138/0,222 = 0,623; δb12 |
|
|
|
|||
b12 |
= |
|
|
= |
0,672 |
100% |
= 7%; |
|
^ |
|
|||||||
|
|
δ21 |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
^ |
|
|
|
|0,136 − 0,137| |
|
|
= |
δ22 |
= 0,062/0,454 = 0,136; δb21 |
= |
100% |
= 0,9%; |
|||
b21 |
|
|
0,137 |
|||||
^ |
|
|||||||
|
|
δ12 |
|
|
|
|
|
|
^ |
^ |
^ ^ |
|
− 0,136 0,138 = 0,203; δa21 = |
|0,203 − 0,192| |
|
a21 |
= δ21 |
− b21δ11 |
= 0,222 |
0,192 |
100% = 6%; |
|
^ |
^ |
^ ^ |
|
− 0,623 0,062 = 0,415; δa21 = |
|0,415 − 0,412| |
|
a12 |
= δ12 |
− b12δ22 |
= 0,454 |
0,412 |
100% = 0,9%. |
|
ЧАСТЬ III. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
14. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
14.1. Цель работы
Научиться формировать в MS Excel последовательности случайных чисел с заданными статистическими характеристиками. Это необходимо для моделирования экономических объектов, имеющих случайную природу, и последующего эконометрического анализа поведения таких объектов.
14.2. Генерация случайных чисел
Последовательности случайных чисел формируются двумя способами:
1.вызов диалогового окна "Генерация случайных чисел".
2.непосредственное использование функций СЛЧИС(), СЛУЧМЕЖДУ(). Рассмотрим оба этих способа.