3. Связь напряженности с потенциалом в электростатическом поле

В разд. 2 получены формулы (12) и (14), позволяющие по напряженности находить разность потенциалов или потенциалы для точек электростатического поля. Теперь найдем обратную зависимость, позволяющую определять напряженность поля по его потенциалу .

Рассмотрим неоднородное электростатическое поле, образованное, например, отрицательным точечным зарядом -q и проводящей плоскостью с зарядом +q (рис. 8).

В произвольной точке А с помощью единичного вектора зададим направление, перпендикулярное к эквипотенциальной поверхности и касательное линии напряжен-ности. Вектор направлен в сторону возрастания потенциала , то есть противоположно вектору . Перепишем выражение (13) для случая элементарного перемещения вдоль линии напряженности в направлении вектора , учитывая, что при этом , а :

. (15)

Из (15) вытекает

(16)

или в векторном виде

. (17)

Вектор называется градиентом потенциала , поэтому выражение (17) обычно записывается в виде

. (18)

12