3.2. Постановка задачи (переменные теплофизические свойства)

Дана неограниченная пластина толщиной 0,1 м с начальной температурой 273 К. К поверхности пластины приложен источник с постоянной температурой 1273 К, а на нижней границе заданы адиабатические условия нагрева. Время нагрева составляет 1000 секунд.

Условие задачи можно сформулировать следующим образом.

• Для металла прирост теплосодержания будет происходить только за счёт теплопроводности, то есть уравнение теплопроводности будет иметь вид:

,

где – температура металла, К; – удельная теплоёмкость металла, ; – теплопроводность материала металла, ; – текущая пространственная координата металла, ;– время, с.

Начальные условия:

К, где 0 < x_м ≤ 0,1 м.

Граничные условия:

• 1 рода на одной поверхности металла:

, 0 < τ ≤ τ_к.

• 2 рода на другой поверхности металла:

, 0 < τ ≤ τ_к.

3.2.1. Решение задачи нагрева металла с переменными теплофизическими свойствами аналитическим методом в среде MathCad

Сначала надо описать постоянные величины:

τ = 1000 – время расчета или нагрева пластины, с;

r = 0,1 – толщина пластины, м;

Переменными величинами будут являться:

c – удельная массовая теплоемкость стали, ;

ρ – плотность стали, кг/м³;

λ – коэффициент теплопроводности, .

Для стали 20 в программе Excel были получены следующие законы изменения коэффициента температуропроводности от температуры:

• в диапазоне от 273 К до 1073 К:

а(Т) = 1,763Е-05-1,230Е-08∙Т м²/с,

• в диапазоне от 1073 К до 1473 К:

а(Т) = -9,164Е-07+4,931Е-09∙Т м²/с.

Результаты решения приведены в табл. 3.3, а также получены в виде зависимостей, изображенных на рис. 3.2. Листинг программы в MathCAD приведен в приложении 3.

Таблица 3.3. Результаты решения задачи

τ, сек	T(0, τ), оС
200	545,72
400	780,37
600	911,19
800	993,83
1000	1050,93

Рис. 3.2. График зависимости температуры от времени нагрева

4. Решение задач нагрева металла в различных многоцелевых вычислительных комплексах

Цель работ: получение температурного поля пластины с учетом постоянных и переменных теплофизических свойств и сравнение точности полученных результатов в различных программных комплексах с точным аналитическим решением, полученным в Mathcad.

В настоящее время компьютерные технологии стремительно развиваются. Широкое применение численных методов и наличие мощных ЭВМ позволяют почти для любой практической задачи составить математическую модель и провести ее численное исследование. Именно упрощение, связанное с использованием алгебраических, а не дифференциальных уравнений, делает численные методы широко применимыми. Лучшим способом проверки точности численного метода является сравнение с точным аналитическим решением. Численное решение дает количественное выражение закономерностей, присущих математической модели. Это позволяет предугадать поведение модели. А с помощью экспериментального исследования наблюдается сама действительность.

Результат численного решения зависит как от численного метода, так и от математической модели. Если используемая математическая модель не соответствует изучаемому явлению, то с помощью даже очень хорошей численной методики можно получить ошибочные результаты.

Но есть ситуации, когда эксперимент невозможно заменить численным исследованием. Это применимо к исследованию новых фундаментальных явлений, где расчет следует за экспериментом. Однако расчет более эффективен для изучения проблемы, включающей несколько взаимодействующих известных явлений. Но и в этом случае необходимо обосновать результаты расчета путем сравнения их с экспериментальными данными.

Можно сделать вывод, что оптимальное исследование должно разумно сочетать расчет и эксперимент. Пропорция, в которой должны состоять эти две составляющие зависит от существа проблемы, от целей исследования и от различных ограничений. Так, например, точность решения задачи нагрева для тел простой формы будет практически стопроцентной, а для сложных систем будет далека от идеала.

Расчет температурного поля с заданной точностью можно выполнить в сетках с разным соотношением шагов по пространству и времени. Заданную точность разностного решения можно достичь, применяя различные по своей структуре и скорости сходимости разностные схемы, построенные на пространственно-временных сетках разных размеров. При этом разностные схемы, имеющие более высокую скорость сходимости, обеспечивают заданную точность расчета на более грубых сетках, однако их реализация может потребовать больших вычислительных затрат. Таким образом, при численной реализации математической модели необходимо обеспечить заданную точность расчета при минимальном объеме вычислений, то есть построить эффективную разностную схему.