§ 5. Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат.

В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (х, у, z, t), такой физической величиной является интервал между двумя событиями:

(15)

где расстояние между точками трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначение t₁₂ = t₂ - t₁получим .

Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Обозначив t = t₂- t₁, х= х₂ – х₁, у=у₂–y₁, и z = z₂ – z₁ выражение (15) можно записать в виде .Интервал между теми же событиями в системе К' равен

. (16)

Согласно преобразованиям Лоренца (8),

Подставив эти значения в (16), после элементарных преобразований получим, что

т.е. .

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Теория относительности, таким образом, сформулировала новое представление о пространстве и времени. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждалось в механике Галилея — Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи — «пространство — время». Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее.

§ 6.Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Из принципа относительности Эйнштейна (см. §2), утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

, (17)

или

, (18)

где

(19)

— релятивистский импульс материальной точки (m — масса материальной точки).

Отметим, что уравнение (18) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики. Однако физический смысл его другой: справа стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (19). Таким образом, уравнение (39.1) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

Анализ формул (19) и (17) показывает, что при скоростях, значительно меньших скорости с, уравнение (19) переходит в основной закон классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие v<< с. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая с (формально переход осуществляется при с ). Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).