2.1.4.Элементарная теория электропроводности полупроводников

Проведём расчет плотности тока для донорного полупроводника. Концентрация электронов , скорость дрейфового движения . Плотность тока – это заряд, проходящий за единицу времени через единичное сечение площадки, перпендикулярно скорости движения, т.е.

.

Пусть - вероятность того, что электрон за время испытает столкновение (рассеяние). Вероятность столкновения в единицу времени не зависит от времени, т.е. . Количество столкновений для частиц за время равно , т.е. за время концентрация носителей заряда, движущихся в заданном направлении, уменьшается в результате рассеяния на . Решив это уравнение относительно , получаем количество электронов, не испытавших за время соударения: ,

при t = 0. Внешнее электрическое поле напряженностью сообщает электрону ускорение за время свободного пробега электрон приобретает дрейфовую скорость и пройдет путь Расстояние, которое пройдут все электроны в направлении поля

Если электронов имеют среднее время пробега , то время движения всех электронов . Есть определенная вероятность того, что среди электронов имеются такие, которые обладают одним и тем же временем свободного пробега . Это электроны, испытавшие соударение в момент времени от до . Количество таких электронов , время их движения и вероятность столкновения . Интегрируя это выражение по всем временам свободного пробега от 0 до , найдем время движения электронов: Среднее время свободного пробега

.

Таким образом, - это среднее время свободного пробега, т.е. среднее время движения электронов между двумя соударениями, тогда скорость дрейфа электронов пропорциональна напряженности электрического поля, времени свободного пробега и обратно пропорциональна массе электрона.

Параметр, связывающий дрейфовую скорость носителей заряда с напряженностью электрического поля, называют подвижностью носителей . Тогда и - подвижность численно равна скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности.

С учетом сказанного .По закону Ома , тогда удельная проводимость равна

1.2.5.Статистика электронов и дырок в полупроводниках

1.2.5.1.Плотность квантовых состояний

Важнейшая задача статистической физики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в определенном интервале. Для ее решения необходимо знать число квантовых состояний и вероятность нахождения частиц в этих состояниях. Следовательно, для определения концентрации носителей заряда в полупроводнике необходимо знать фактическое число состояний, занятых электронами и дырками.

Пусть в кристалле единичного объема в интервале энергий от Е до Е+dЕ имеется dZ квантовых состояний (с учетом спина). Обозначим N(Е) плотность состояний, т. е. число состояний в единичном интервале энергии для единичного объема кристалла. Тогда

N(Е) = . (1.2.1)

Если вероятность заполнения электроном состояния с энергией Е равна f (E,T), то число электронов dn, находящихся в состояниях dZ , равно

dn=f (E,T) dZ = f (E,T) N (E) dE.

Количество электронов, для которых возможный интервал энергий лежит в пределах , равно

.

Найдем выражение для плотности квантовых состояний в случае, когда поверхности равной энергии зоны проводимости и валентной зоны являются сферами. Определим плотность состояний у нижнего края зоны проводимости. Энергия электронов у дна зоны

,

где - энергия электрона на дне зоны проводимости, m_n^*- эффективная масса электрона.

В ыделим шаровой слой, заключенный между двумя изоэнергетическими поверхностями Е и Е+dЕ (рис.1.2.8). Объем этого слоя dV_p=4πp²dp. Объем элементарной ячейки зоны Бриллюэна кристалла единичного объема в -пространстве равен h³. В каждой ячейке могут находиться два электрона с противоположно направленными спинами. Количество квантовых состояний в объеме dV_p равно:

, (1.2.2) ,

тогда из (1.2.1) имеем:

, (1.2.3)

отсюда , и

. (1.2.4)

Подставив (1.2.2), (1.2.3), (1.2.4) в (1.2.1), получаем:

Аналогично плотность состояний вблизи верхнего края валентной зоны

.