Отображения

Отображение  называется дифференцируемым в точке  своей области определения , если существует такое линейное отображение , зависящее от точки , что для любой точки  верно

то есть, раскрывая символ «o» малое, если

.

Линейное отображение  является дифференциалом отображения  в точке .

Если отображение  задано набором функций

то его дифференцируемость в точке  равносильна дифференцируемости всех функций в данной точке, и матрица его дифференциала  — это матрица Якоби, составленная из частных производных этих функций в точке .

.

47.остновные правила дифференцированния

1) Производная от суммы равна сумме производных: 

Доказательство:

2) Постоянный множитель выносится за знак производной: .

3) Производная произведения: .

Доказательство:

4) Производная дроби: .

Доказательство:

Вывод формул для производных.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8)   

9) 

10) 

11) 

48.производные от элементарных функций

Функция y = f(x)	Производные элементарных функций простого аргумента
y=xn	y=nxn−1
y = x	y=1
y=x	y=12x
y=x1	y=−1x2
y = cos x	y=−sinx
y = sin x	y=cosx
y = tg x	y=1cos2x
y = ctg x	y=−1sin2x
y = arcsin x	y=11−x2
y = arccos x	y=−11−x2
y = arctg x	y=11+x2
y = arcctg x	y=−11+x2
y=axa0a=1	y=axlnaa0a=1
y=ex	y=ex
y=logaxa0a=1	y=1xlna
y = lnx	y=x1x0
Функция y = f(kx +b)	Функция y = f(kx +b)
y=(kx+b)n	y=(kx+b)n
y=(kx+b)	y=(kx+b)
y=kx+b	y=kx+b
y=1kx+b	y=1kx+b
y = cos (kx +b)	y = cos (kx +b)
y = sin (kx +b)	y = sin (kx +b)
y = tg (kx +b)	y = tg (kx +b)
y = ctg (kx +b)	y = ctg (kx +b)
y = arcsin (kx +b)	y = arcsin (kx +b)
y = arccos (kx +b)	y = arccos (kx +b)
y = arctg (kx +b)	y = arctg (kx +b)
y = arcctg (kx +b)	y = arcctg (kx +b)
y=akx+ba0a=1	y=akx+ba0a=1
y=ekx+b	y=ekx+b
y=loga(kx+b)a0a=1	y=loga(kx+b)a0a=1
y = ln(kx +b)	y = ln(kx +b)

49.производные сложной функции. Логарифмическая производная.

Логарифмическая производная – производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции: 

Используя формулу производной сложной функции, найдем, что  (*)

50. производная заданная в неявнои и параметрическом виде

Предположим, что функциональная зависимость  от  не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция  задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции  и  определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной  выполним следующие преобразования:

Рассмотрим функцию 

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция  в явном виде выражена через независимую переменную .