§8. Скорости и ускорения в различных системах отсчета
Обычно на практике
механическое движение какого-то тела
могут изучать несколько наблюдателей,
находящихся в различных системах
отсчета. В связи с этим возникает
необходимость в сравнении результатов,
полученных в различных системах отсчета.
И, кроме того, от выбора системы отсчета
зависит объем вычислений при решении
практических задач. Заметим, что ниже
приведенные соотношения справедливы
для скоростей движения значительно
меньших скорости света в вакууме (
).
Постановка
задачи.
Имеются две произвольные системы отсчета
и
,
движущиеся относительно друг друга.
Известны скорость
и ускорение
точки
в
системе.
Каковы значения величин
и
в
системе.
Рассмотрим три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.
система
движется поступательно по отношению
системе.Пусть
положение движущейся точки
в
системе
определяется радиус–вектором
,
а в
системе ––
радиус–вектором
(см. рис. 1.7).
система
движется поступательно относительно
системы.
Положение начала отсчета
системы
(точка
)
определяет радиус–вектор
.
О
чевидно
что, векторы
и
связаны соотношением:
. (1.41)
Для бесконечно
малых перемещений
и
точки
соответственно в
и
системах
справедлива формула:
. (1.42)
Скорости точки
(
и
)
в
и
системах
связаны соотношением:
, (1.43)
где
скорость
системы
относительно
системы.
Для ускорений имеем равенство:
, (1.44)
где
ускорение точки
в
и
системах
соответственно,
ускорение
системы
относительно
системы.
Из соотношений
(1.42)––(1.44) следует, что в перемещение,
скорость и ускорение точки
зависит от выбора системы отсчета, т.е.
не являются инвариантными величинами
для различных систем отсчета.
В том случае, когда
система
движется поступательно с постоянной
скоростью (
),
ее ускорение
,
и, следовательно, имеем равенство:
. (1.45)
В этом случае
ускорением точки
постоянно в
и
системах.
Это означает то, что в инерциальных
системах2
отсчета ускорение является инвариантной
величиной.
система
вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг оси, неподвижной в
системе.3
Совместим
и
системы,
начало отсчета возьмем на оси вращения.
В этом случае в начальный момент времени
радиус–вектор точки
можно выбрать одинаковым в
и
системах
(
).
Пусть
и
скорости точки
в
и
системах,
тогда перемещение этой точки в
системе
равно
,
а перемещение
системы
относительно
––
(см. рис.
1.8). При этом угол поворота
системы за
время
равен
.
Перемещение точки
в
системе
равно
. (1.46)
Соотношение для
скоростей
и
в
и
системах
имеет вид
. (1.47)
Ускорения
и
в
и
системах
связаны соотношением:
. (1.48)
Второе слагаемое в равенстве (1.48) называют кориолисовым ускорением, а третье слагаемое –– осестремительным ускорением:
,
. (1.49)
Пусть
вектор, проведенный в точку
перпендикулярно оси вращения, тогда
равенство (1.48) примет вид
.
(1.50)
Для определения
направления вектора
используют равенство (1.49) и правило
буравчика, осестремительное ускорение
направлено против вектора
к оси вращения
системы.
система
вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг оси, перемещающейся поступательно
со скоростью
относительно
системы.4
Пусть
скорость поступательного движения
точки
,
являющейся точкой отсчета
системы,
а
вектор угловой скорости вращения
системы.
Этот случай объединяет два предыдущих.
Для векторов
скорости
и
точки в
и
системах
справедлива формула:
.
(1.51)
где все обозначения описаны ранее в пункте 2.
Ускорения точки
в
и
системах
(
,
)удовлетворяют
следующему соотношению:
. (1.52)
Следует заметить, что все обозначения величин, входящих в соотношения (1.51)–(1.52), описаны ранее в пункте 2.