4. Собственные значения и собственные векторы подобных матриц.

Если имеет место равенство , то матрицыиподобные (см. глава 6).

Докажем, что подобные матрицы имеют одинаковый спектр.

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

►Пусть матрицы иподобные. Тогда существует такая невырожденная матица, что.

Покажем, что характеристические многочлены подобных матриц исовпадают.

.◄

Следствие 1. Характеристические уравнения подобных матриц совпадают .

Следствие 2. Собственные значения подобных матриц совпадают.

Следствие 3. Для подобных матриц ии.

Замечание. Из равенств ине всегда следует подобие матрици.

Например, матрицы иимеют одинаковые следы и одинаковые определители, но не являются подобными.

►Действительно, для любой невырожденной матрицы второго порядка выражение, откуда следует, что матрицыине являются подобными.◄

Теорема. Если исобственная пара матрицы, то- собственная пара матрицы.

► Так как собственная пара матрицы, то. Умножаяслева на, имеем, с другой стороны,, откуда. Последнее означает, что- собственная пара матрицы.◄

Замечание. Если и матрицадиагональная, то собственными значениямиматрицы являются диагональные элементы , а собственными векторами - единичные векторы. Тогда в силу доказанной теоремы собственному значениюматрицысоответствует собственный вектор(-ый столбец матрицы).

● Пример 9. Могут ли матрицы = и быть подобными?

Решение. Если матрицы подобны, то и.

Система несовместна, откуда следует, что

матрицы ине могут быть подобными.●

● Пример 10. Для любознательных. Доказать, что матрицы и подобны.

Решение.

Если матрицы иподобны, то существует хотя бы одна невырожденная матрица, что, и собственной парематрицысоответствует собственная параматрицы.

и , откуда следует, что собственные значения матрицисовпадают. Характеристическое уравнение матрицы , а, следовательно, и матрицыимеет вид, корни которогои. Нетрудно проверить, чтои- собственные векторы матрицы, соответствующие собственным значениями. Если существует такая матрица, что, тои- собственные векторы матрицы, соответствующиеи. Собственные векторыиудовлетворяют системами.

Пусть . Тогда предыдущие уравнения могут быть записаны в виде,.

Первое матричное уравнение эквивалентно одному скалярному уравнению , второе - уравнению.

Для нахождения ,,иимеем систему уравнений

ранг матрицы которой равен двум (минор второго порядка ). Две неизвестные можно задать произвольно. Чтобы получитьнетривиальное решение необходимо хотя бы одну неизвестную задать отличной от нуля.

Пусть , тогда ,матрица .

Следовательно, существует невырожденная матрица такая, чтои матрицыиподобны.●

Замечание. Из произвольности выбора неизвестных следует, что можно подобрать бесконечное множество матриц , таких, что.

5. Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы.

Теорема. Собственные значения симметрической матрицы действительные числа.

► Предположим противное. Пусть комплексное число - собственное значение симметрической матрицы, а векторсобственный вектор, соответствующий указанному собственному значению, т.е.. Тогда, откуда

, (8.9)

(8.10)

Умножая (8.9) слева на , учитывая равенство и используя (8.10), имеем,,,, откуда, а это противоречит тому, чтои . Противоречие доказывает теорему.◄

Теорема. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно перпендикулярны.

►Пусть собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значениюи- собственный вектор, соответствующий собственному значению

(8.11)

(8.12)

Умножая равенство (8.11) слева на , учитывая равенствои используя (8.12), имеем, откуда, т.е. векторы и взаимно перпендикулярны.◄

● Пример 11. При каком значении векторявляется собственным вектором матрицы?

Показать, что при найденном значении вектор также является собственным вектором этой матрицы. Найти все собственные пары этой матрицы при найденном .

Решение. . Так каксобственный вектор матрицы, то, откуда,. При найденном=-2и.

Найдем собственное значение, соответствующее собственному вектору .

==3, откуда следует, что векторсобственный вектор матрицы, который соответствует собственному значению.

При найденном матрицасимметрическая, поэтому собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно перпендикулярны. Третий собственный вектор найдем как вектор, перпендикулярный векторам и . Вектор перпендикулярен векторам и . Проверим, что - собственный вектор этой матрицы и найдем соответствующее ему собственное значение., откуда следует, что=6, а вектор при- собственный вектор матрицы, который соответствует собственному значению.

Ответ:;

при (-2,) ,(3,),

(6, ) - собственные пары матрицы.