Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5513 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Лекции_Электротехника и электроника.pdf
Скачиваний:
164
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
►Содержание►

-начальная фаза;

-действующее значение;

-среднее значение;

-комплекс действующего или амплитудного значения и др.

3.1.1 Мгновенное значение.

Мгновенное значение величины а показывает закон ее изменения и записывается в виде:

 

а = Аm sin(ωt +ψ ),

(3.1)

где Аm – амплитуда (максимальное значение) величины;

 

ω

– угловая частота, рад/с;

 

t

– текущее значение времени, с;

 

ψ – начальная фаза.

 

Мгновенные значения тока i , напряжения u или ЭДС e записываются в виде:

i = Im sin(ωt +ψi ),

(3.2)

u =U m sin(ωt +ψu ),

(3.3)

e = Em sin(ωt +ψe ).

(3.4)

Аргумент синуса (ωt +ψ ) называется фазой. Угол ψ равен фазе в начальный момент времени t =0 и поэтому называется начальной фазой.

Угловая частота ω связана с периодом T и частотой f = 1

форму-

лами:

 

T

 

2π

 

 

ω =

или ω = 2πf ,

(3.5)

T

 

 

 

Частота f, равная числу колебаний в 1с., измеряется в герцах (Гц). При

f=50 Гц имеем ω =314 рад/с.

Сучетом (3.5) формула (3.1) может иметь вид:

 

2π

 

 

а = Аm sin

 

t +ψ ,

(3.6)

 

Т

 

 

На рисунке 3.1 изображены графики синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами:

i1 = Im1 sin(ωt +ψ1 ); i2 = Im2 sin(ωt +ψ2 ).

101

По оси абсцисс отложено время t и величина ωt , пропорциональная времени и измеряемая в радианах.

Начальный фазный угол отсчитывается от начала синусоиды, т.е. от момента перехода синусоиды от отрицательных к положительным значе-

ниям до момента времени t =0 (начало координат). При

ψ1>0 начало си-

нусоиды сдвинуто влево, а при ψ2 <0 – вправо от начала координат.

 

 

 

i, A

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im1

 

1

 

 

Т

 

Т

 

 

3

Т

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

t, c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

t, рад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1 >0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 <0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.1 – График синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами.

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе.

Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая равна разности начальных фаз. На рисунке 3.1 ψ1 −ψ2 >0, т.е. ток i1 опережает по фазе ток

i2 на угол ψ1 −ψ2 , или, что тоже самое, ток i2 отстает по фазе от тока i1

на угол ψ1 −ψ2 .

Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе; если разность их фаз равна ±π , то говорят, что они противоположны по фазе (в противофазе). И, если разность их фаз равна ±π / 2 , то говорят, что они находятся в квадратуре.

Наибольшее распространение в электротехнике получил синусоидальный ток частотой 50 Гц, которая принята за стандартную в России. В США стандартной является частота f=60 Гц.

102

Диапазон частот, применяемых на практике синусоидальных токов и напряжений, очень широк: от долей герца, например, в геологоразведке, до десятков тысяч мегагерц (МГц) в радиолокации.

Синусоидальные токи и напряжения низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов, в которых используется принцип получения синусоидального напряжения путем вращения витка с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле. Этот принцип основан на явлении электромагнитной индукции, открытом в 1831 году М.Фарадеем. Синусоидальные токи и напряжения высоких частот (ВЧ) получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов.

Источники синусоидальной ЭДС (источники синусоидального напряжения) обозначают на схемах с помощью условных обозначений (рисунок 3.2, а, б) или только показывают напряжение между зажимами источника (рисунок 3.2, в), т.к. в большинстве случаев принимают источники идеальными и ввиду равенства нулю их внутреннего сопротивления имеем

е = u, E& =U& и т.д.

 

 

.

 

 

 

е

 

 

 

 

 

1

2

 

E

1

 

2

1

2

U.

u

 

 

.

 

 

 

 

 

U

 

 

 

а)

 

 

б)

 

в)

 

Рисунок 3.2 – Условные обозначения идеальных источников ЭДС

3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений.

Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q, выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока I0 в течение промежутка времени t равна:

Q = I02 R t .

(3.7)

Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ, выделившейся в резисторе с сопротивлением R за бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого силу тока i можно считать не изменяющейся:

dQ =i2 Rdt ,

(3.8)

За период времени Т выделившаяся энергия:

103

 

T

 

 

 

 

Q = ∫i 2 Rdt ,

 

 

(3.9)

 

0

 

 

 

Пусть i = Im sinωt , тогда:

 

 

 

T

 

T

Im2

 

Q = ∫Im2 sin2 ωtRdt = Im2 R∫sin2 ωtdt =

RT

2

0

 

0

 

 

 

 

Введем величину

I = Im , называемую действующим значением си-

 

2

 

 

 

нусоидального тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:

 

Q = I 2 RT ,

 

 

(3.10)

Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Дей-

ствующее значение синусоидального тока равно такому значению постоянного тока, который за один период выделяет в том же резисторе такое же количество тепла, как и синусоидальный ток.

Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС:

U = Um

и

E =

Em .

(3.11)

2

 

 

2

 

Из формул (3.9) и (3.10) получаем:

T

I = 1 ∫i2dt . (3.12)

T 0

Всилу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.

Действующие значения токов и напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).

Вдействующих значениях указываются номинальные токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:

1

T 2

 

2

 

 

∫

 

 

 

Iср =

 

 

Im sinωtdt =

 

 

Im ,

(3.13)

T

 

π

 

 

2 0

 

 

 

 

 

104

т.е. среднее значение синусоидального тока составляет π2 =0,638 от амплитудного значения. Аналогично, Eср = 2Еm / π , Uср = 2Um / π .

3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами и векторами.

Синусоидально изменяющийся ток i изображается комплексным числом:

i = Im sin(ωt +ψi ) Ime j(ωt+ψi ).

(3.14)

Принято изображение тока находить для момента времени t=0:

 

i = Im sinψi = I&m Ime jψi .

(3.15)

Величину I&m называют комплексной амплитудой тока или ком-

плексом амплитуды тока.

Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока I& понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на

2 :

 

 

&

I&m

Im

jψi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jψi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 =

 

2 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

= I e

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

(3.16)

Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выраже-

ния

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

U&m

jψu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

E&m

jψe

 

=

 

=U e ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

= E e .

U

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =I e j i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jm I =I sin i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re I =I

cos

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

Рисунок 3.3 – Изображение синусоидального тока на комплексной плоскости вектором I&

Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на комплексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен век-

тор I&. При этом угол ψi отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки,

105

если ψi >0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока I& (так же, как ком-

плекс напряжения и ЭДС) можно представить а) вектором I&;

б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:

I&= I e jψi

= Re I&+ jJmI&= I cosψ + jI sinψ ,

(3.17)

Пример 3.1

Ток i = 2 sin(ωt +300 ) А. Записать

выражение для

комплексной амплитуды этого тока.

Решение. В данном случае Im =2 А, ψ =300. Следовательно,

I&m = 2 e j300 = (2cos 300 + j 2 sin300 )= 3 + j 1 А.

Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока I&m = 25 e− j300 А. Записать

выражение для мгновенного значения этого тока.

Решение. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному

значению надо умножить

I&m

на e jωt

и взять коэффициент при мнимой

части от полученного произведения:

 

 

 

j(ωt−300 )

= 25 sin(ωt −30

 

).

 

e

− j300

e

jωt

 

 

25 e

0

i = Jm 25

 

 

 

= Jm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения

тока для примера 3.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

I&m 2 e j300

 

2 e

j300

А.

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

Решение: I =

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Элементы электрических цепей синусоидального тока

Основные элементы электрических цепей синусоидального тока:

-источники электрической энергии (источники ЭДС и источники тока);

-резистивные элементы (резисторы, реостаты, нагревательные элементы и т.д.);

-емкостные элементы (конденсаторы);

-индуктивные элементы (катушки индуктивности).

3.2.1 Резистивный элемент (РЭ).

 

На рисунке 3.4, а изображен РЭ, по которому течет ток

 

i = I m sinωt .

(3.18)

По закону Ома напряжение РЭ

106

u =i R = R Im sinωt =Um sinωt ,

(3.19)

где Um = R Im .

Из формул (3.18) и (3.19) следует вывод: ток и напряжение в рези-

стивном элементе совпадают по фазе (изменяются синфазно). Это поло-

жение наглядно иллюстрируется на рисунке 3.4,б, в. Из формул (3.19) сле-

дует другой вывод: закон Ома выполняется как для амплитудных значений

тока и напряжения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Um = R Im ,

 

 

 

(3.20)

так и для действующих значений тока и напряжения:

 

 

 

 

 

U = R I .

 

 

 

(3.21)

Выразим мгновенную мощность p через мгновенные значения тока

i и напряжения u :

 

 

 

 

 

 

 

 

p = u i =U m Im sinωt sinωt =

U m Im

(1−cos 2ωt )=U I (1−cos 2ω)

(3.22)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u= Ri

u

i

u =Um sin

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

i =Imsin

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

T

3

t

I

U

 

 

2

 

 

2 T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

р

 

 

 

Um Im=

 

 

 

р=UI(1- sin2 t)

 

 

 

 

 

2

U I

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

+

 

+

 

t

а) изображение на схеме; б) векторы тока и напряжения;

в) графики тока и напряжения; г) график мгновенной мощности.

Рисунок 3.4 – Резистивный элемент

107

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности