Лекция № 8 - 9 Векторная алгебра

План лекции:

1. Векторы и операции над ними.

2. Евклидово пространство

3. Линейные операторы. Собственные значения линейного оператора

4. Размерность и базис векторного пространства

Векторы и операции над ними

Вектор – направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В.

B

A

Его можно обозначить по разному:,= АВ.

Длина ( модуль) вектора - это число, равное длине отрезка АВ.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Нулевой вектор ( нуль-вектор)- это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, направление произвольно, и он считается коллинеарным любому вектору.

Произведение вектора на число-это вектордлиной, направление которого совпадает с, если, и противоположно ему, если

Противоположный вектор -это произведениена (-1).

Сумма двух векторов иопределяется по правилу треугольника:

Сумма нескольких векторов – результат последовательного применения правила треугольника, т.е. правило многоугольника.

Разность векторов и- это сумма вектораи вектора

В параллелограмме, построенном на векторах и, одна диагональ представляет сумму, а другая – разность.

Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координатами вектораназываются координаты его конечной точки. Тогда вектор можно записать в координатной форме:

• на плоскости

• в пространстве

Можно показать, что

и т.д.

или

.

Скалярное произведение () двух векторови- это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

В координатной форме

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Если тои получаем скалярный квадрат вектора:

который равен квадрату его длины.

Расстояние между двумя точками плоскости А(и В (можно рассматривать как длину вектора=

Угол между векторами иопределяется по формуле:

n-мерное векторное пространство

n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде где-I-ая компонента вектора

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е.

Сумма двух векторов:

Произведение вектора на действительное число :

Свойства операций над векторами:

1. x+y= y+x;

2. ( x+y)+z=x+(y+z);

3. 

4. 

5. 

6. Существует нулевой вектор 0=(0,…,0) такой, что х+0=х,

7. Для любого х существует (-х) такой, что х+(-х)=0;

8. 

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющих приведенным выше свойствам, называются векторным пространством.

Пример: множество алгебраических многочленов степени не выше n