Затухание свободных колебаний в реальном контуре

Формулы (5), (8) и (9) описывают незатухающие колебания в идеальном контуре без потерь энергии. Однако, всякий реальный колебательный контур, кроме емкости и индуктивности, обладает еще и активным сопротивлением R . Величина этого сопротивления определяется, в основном, сопротивлением провода, которым намотана катушка. Энергия расходуется на нагревание этого провода, и колебания постепенно затухают.

Для реального контура (рис.3), согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

, (10)

где – падение напряжения на активном сопротивлении. Учитывая, что , , , а также и , уравнение (10) можно записать в виде

. (10а)

Поделив все члены уравнения на и введя обозначения и , получим

(10б)

Решением уравнения (10б) является функция

, (11)

к оторая отличается от функции (5) тем, что амплитуда колебаний зависит от времени: (рис.4). Колебания затухают тем быстрее, чем больше величина параметра , называемого коэффициентом затухания.

Наличие активного сопротивления приводит к уменьшению частоты колебаний

. (12)

Кроме коэффициента затухания , используется еще один параметр – логарифмический декремент затухания , характеризующий изменение амплитуды колебаний за время, равное одному периоду:

. (13)

Получение незатухающих колебаний. Резонанс

Наиболее важными для практического применения являются незатухающие (вынужденные) колебания, получаемые при включении в контур э. д. с. (см. рис.5), которая изменяется по гармоническому закону:

. (14)

В этом случае, пользуясь вторым правилом Кирхгофа, можно получить уравнение

(15)

Решение этого уравнения дает функцию, описывающую вынужденные колебания заряда с частотой, равной частоте переменной э. д. с., :

, (16)

где

. (17)

Соответственно,

(18)

и

. (19)

Здесь

(20)

Как видно из (20), амплитудное значение силы тока (I_m) можно определить по закону Ома через амплитуду э.д.с. и полное сопротивление контура (импеданс) Z. Величина Z зависит от активного сопротивления R, емкостного и индуктивного сопротивлений:

. (21)

Величина называется реактивным сопротивлением контура.

Из равенства (21) видно, что полное сопротивление контура принимает минимальное значение при , что имеет место, если

. (22)

Согласно (20) амплитудное значение силы тока при этом достигает максимума

(23)

Явление резкого возрастания амплитуды колебаний силы тока, (или напряжения), наблюдаемое при , называется явлением резонанса. Частота называется резонансной частотой для тока. Отметим, что резонансная частота для напряжения на конденсаторе равна .

График зависимости (или ) от частоты внешней э.д.с., называется резонансной кривой. Форма резонансной кривой зависит от величины активного сопротивления: чем меньше R, тем выше и острее максимум резонансной кривой (рис. 6).