6. Понятие экономичности системы счисления

Число с Kразрядами вP-ичной системе счисления, очевидно, будет иметь наибольшее значение в том случае, если все цифры числа окажутся максимальными, то есть равными. Тогда значение максимального числа в этой системе будет равно

. (10.5)

K цифр

Здесь была применена формула для суммы первых членов геометрической прогрессии:

, причем,.

Количество разрядов числа при переходе от одной системы счисления к другой в общем случае меняется. Если (где– не обязательно целое), то из (10.5) получаеми количества разрядов в представлениях числаXв системахPиQбудут различаться враз. Логарифмируя по любому основанию обе части равенства, получаем:

. (10.6)

Для примера сравним количество цифр в числе и его представлении в двоичной системе счисления:, то есть двоичная запись требует семь цифр вместо двух в десятичной,. Действительно,, то есть на каждый из двух десятичных разрядов приходитсяразрядов двоичных, поэтому двухразрядное десятичное число будет представлено двоичным числом, содержащимразрядов, но количество разрядов – число целое, поэтому количество цифр надо округлить в большую сторону, то есть получаем семь.

Введем понятие экономичностипредставления числа в данной системе счисления.

Под экономичностью системы счисления будем понимать то количество чисел, которое можно записать в данной системе с помощью определенного количества цифр.

Речь в данном случае идет о максимально возможном количестве сочетаний цифр, которые интерпретируются как различные числа.

Поясним на примере. Пусть в распоряжении имеется 12 цифр, или 12 «ячеек», которые можно заполнить разными цифрами. Можно разбить эти 12 цифр на 6 групп по две цифры, и считать, что эти цифры – 0 и 1. Каждая группа соответствует одному разряду, т.е таким образом можно записать шестиразрядное двоичное число, а всего различных шестиразрядных двоичных чисел может быть (число различных сочетаний из двух разных по шесть).

Можно разбить заданное количество (то есть 12) цифр на 4 группы по 3 цифры и положить, что эти 3 цифры в каждой группе такие: 0, 1, 2, то есть представляют собой цифры 3-ичной системы счисления. Каждая группа из четырех соответствует одному разряду 3-ичного числа, а всего различных четырехразрядных 3-ичных чисел существует . Аналогично можно произвести другие разбиения; при этом число групп определит разрядность числа, а количество цифр в группе – основание системы счисления. Результаты различных разбиений этих 12 «ячеек»проиведены втабл. 17.

Из приведенных в таблице оценок видно, что наиболее экономичной оказывается троичная система счисления.

В 60-х годах 20-го века в нашей стране была построена вычислительная машина «Сетунь», которая работала в троичной системе счисления. Предпочтение все же отдается двоичной системе, так как по экономичности она оказывается второй после троичной, а технически она реализуется гораздо проще остальных.

Табл. 17. Количество чисел, представимых двенадцатью цифрами различных систем счисления

Основание системы счисления, P	2	3	4	6	12
Разрядность числа, k	6	4	3	2	1
Колич-во различных чисел, N