7.22. Упражнения

7.1.Запишите по правилам алгоритмического языка выражения:

a)		e)
б)		ж)
в)		з)
г)		и)
д)		к)

7.2.Запишите в обычной математической форме арифметические выражения:

а) a / b ** 2; б) a+b/c+1; в) 1/a*b/c; г) a**b**c/2; д) (a**b)**c/2; е) a/b/c/d*p*q; ж) x**y**z/a/b; з) 4/3*3.14*r**3; и) b/sqrt(a*a+b); к) d*c/2/R+a**3;

л) 5*arctg(x)-arctg(y)/4; м) lg(u*(1/3)+sqrt(v)+z); н) ln(y*(-sqrt(abs(x)))); о) abs(x**(y/x)-(y/x)**(1/3)); п) sqrt((x1-x2)**2+(y1-y2)**2); р) exp(abs(x-y))*(tg(z)**2+1)**x; c) lg(sqrt(exp(x-y))+x**abs(y)+z); т) sqrt(exp(a*x)*sin(x)**n)/cos(x)**2; у) sqrt(sin(arctg(u))**2+abs(cos(v))); ф) abs(cos(x)+cos(y))**(1+sin(y)**2);

7.3. Вычислите значения арифметических выражений при x=1: а) abs(x-3)/ln(exp(3))*2/lg(10000);    Решение: abs(1-3)=2; ln(exp(3))=3; lg(10000)=4; 2/3*2/4=0.33;   б) sign(sqrt(sqrt(x+15)))*2**2**2; в) int(-2.1)*int(-2.9)/int(2.9)+x; г) -sqrt(x+3)**2**(sign(x+0.5)*3)+tg(0); д) lg(x)+cos(x**2-1)*sqrt(x+8)-div(2,5); е) sign(x-2)*sqrt(int(4.3))/abs(min(2,-1)); ж) div(10,x+2)*mod(10,x+6)/max(10,x)*mod(2,5).

7.4.Запишите арифметические выражения, значениями которых являются:а)площадь треугольника со сторонамиa, b, c(a, b, c>0) и полупериметромp; Ответ:sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));б)среднее арифметическое и среднее геометрическое чиселa, b, c, d;в)расстояние от точки с координатами(x,y)до точки(0,0);г)синус отxградусов;д)площадь поверхности куба (длина ребра равнаа);е)радиус описанной сферы куба (длина ребра равнаа);ж)координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениямиa₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0 (прямые не параллельны).

7.5.Вычислите значения логических выражений:а)x*x+y*y<=9 при x=1, y=-2Ответ: да;б)b*b-4*a*c<0 при a=2, b=1, c=-2; в)(a>=1) и (a<=2) при a=1.5; г)(a<1) или (a>1.2) при a=1.5; д)(mod(a,7)=1) и (div(a,7)=1) при a=8; е)не ((a>b) и (a<9) или (а*а=4)) при a=5, b=4.

7.6.Запишите логические выражения, истинные только при выполнении указанных условий:а)   x принадлежит отрезку [a, b] Ответ:(x>=a) и (x<=b); б)   x лежит вне отрезка [a, b]; в)   x принадлежит отрезку [a, b] или отрезку [c, d]; г)   x лежит вне отрезков [a, b] и [c, d]; д)   целое k является нечетным числом; е)   целое k является трехзначным числом, кратным пяти;ж)   элемент a_i,j двумерного массива находится на пересечении нечетной строки и четного столбца; з)   прямые a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0 параллельны;и)   из чисел a, b, c меньшим является с, а большим b; к)   среди чисел a, b, c, d есть взаимно противоположные;л)   среди целых чисел a, b, c есть хотя бы два четных; м)   из отрезков с длинами a, b, c можно построить треугольник; н)   треугольники со сторонами a₁, b₁, c₁ и a₂, b₂, c₂ подобны;о)   точка с координатами (x,y) принадлежит внутренней области треугольника с вершинами A(0,5), B(5,0) и C(1,0);п)   точка с координатами (x,y) принадлежит области, внешней по отношению к треугольнику с вершинами A(0,5), B(1,0) и C(5,0); р)   четырехугольник со сторонами a, b, c и d является ромбом.

7.7.Начертите на плоскости (x,y) область, в которой и только в которой истинно указанное выражение. Границу, не принадлежащую этой области, изобразите пунктиром.

а)(x<=0) и (y>=0)Ответ:	е)((x-2)**2+y*y<=4) и (y>x/2)Ответ:
б)(x>=0) или (y<=0) в)x+y>=0 г)(x+y>0) и (y<0) д)abs(x)+abs(y)>=1	ж)(x*x+y*y<1) и (y>x*x); з)(y>=x) и (y+x>=0) и (y<=1);и)(abs(x)<=1) и (y<2); к)(x**2+y**2<4) и (x**2+y**2>1);

7.8.Запишите логическое выражение, которое принимает значение "истина" тогда и только тогда, когда точка с координатами (x, y) принадлежит заштрихованной области.

7.9.Пустьa=3,b=5,c=7. Какие значения будут иметь эти переменные в результате выполнения последовательности операторов:а)   a:=a+1; b:=a+b; c:=a+b; a:=sqrt(a) Решение:a=3+1=4, b=4+5=9, c=4+9=13, a= {корень квадратный из} 4 =2. Ответ: а=2, b=9, c=13; б)   с:=a*b+2; b:=b+1; a:=c-b**2; b:=b*a; в)   b:=b+a; c:=c+b; b:=1/b*c; г)   p:=c; c:=b; b:=a; a:=p; c:=a*b*c*p; д)   c:=a**(b-3); b:=b-3; a:=(c+1)/2*b; c:=(a+b)*a; е)   x:=a; a:=b; b:=c; c:=x; a:=sqrt(a+b+c+x-2); ж)   b:=(a+c)**2; a:=lg(b**2)**2; c:=c*a*b.

7.10.Задайте с помощью операторов присваивания следующие действия: а) массивX=(x₁, x₂)преобразовать по правилу: в качествеx₁взять сумму, а в качестве х₂— произведение исходных компонент;Решение:c:=x[1]; x[1]:=x[1]+x[2]; x[2]:=c*x[2] б)поменять местами значения элементов массиваX=(x1, x2);в)в массивеA(N)компоненту с номеромi(1<i<N) заменить полусуммой исходных соседних с нею компонент, соседнюю справа компоненту заменить на нуль, а соседнюю слева компоненту увеличить на 0.5;г)u = max(x, y, z) + min(x-z, y+z, y, z);

7.11.Задайте с помощью командеслииливыборвычисления по формулам:

a)
б)
в)	где
г)
д)
е)
ж)		если точка лежит внутри круга радиусом r (r>0) с центром в точке (a,b)  в противном случае

7.12.Постройте графики функцийy(x), заданных командамиесли:

а)еслиx<=-1 тоy:=1/x**2 иначе еслиx<=2 тоy:=x*x иначеy:=4 все все	в)еслиx<-0.5 тоy:=1/abs(x) иначе еслиx<1 тоy:=2 иначеy:=1/(x-0.5) все все
Решение	г)еслиx<0 тоy:=1 иначе еслиx<3.14 тоy:=cos(x) иначеy:=-1 все все
б)еслиx<-5 тоy:=-5 иначе еслиx<0 тоy:=x иначе еслиx<3 тоy:=2*x иначеy:=6 все все все	д)еслиabs(x)>2 тоy:=x*x иначе еслиx<0 тоy:=-2*x иначе еслиx>=1 тоy:=4 иначеy:=4*x*x все все все

7.13.Определите значение целочисленной переменной S после выполнения операторов:

а)S:=128 нц дляiот1до4 S:=div(S,2) кц	Решение i S   128 1 128/2=64 2 64/2=32 3 32/2=16 4 16/2=8 Ответ:S=8	г)S:=0 нц дляiот1до2 нц дляjот2до3 S:=S+i+j кц кц	Решение i j S     0 1 2 0+1+2=3   3 3+1+3=7 2 2 7+2+2=11   3 11+2+3=16 Ответ:S=16
б)S:=1; a:=1 нц дляiот1до3 S:=S+i*(i+1)*a a:=a+2 кц		д)нц дляiот1до3 S:=0 нц дляjот2до3 S:=S+i+j кц кц
в)S:=1; a:=1 нц дляiот1до3 S := S+i нц для j oт 2 до 3 S := S+j кц кц		е)нц дляiот1до2 S := 0 нц дляjoт2до3 нц дляkoт1до2 S := S+i+j+k кц кц кц

7.14.Определите значение переменной S после выполнения операторов:

а) i:=0; S:=0 нц пока i<3 i:=i+1; S:=S+i*i кц	г)S:=0; N:=125 нц покаN>0 S:=S+mod(N,10) | S — сумма цифр N:=div(N,10) | числа N кц
Решение Условие i < 3 i S   0 0 0 < 3? да 1 0+12=1 1 < 3? да 2 1+22=5 2 < 3? да 3 5+32=14 3 < 3? нет(кц)     Ответ:S=14	Решение Условие N > 0 S N   0 125 125 > 0? да 0+5=5 12 12 > 0? да 5+2=7 1 1 > 0? да 7+1=8 0 0 > 0? нет (кц)     Ответ:S=8
б) S:=0; i:=1 нц пока i>1 S:=S+1/i i:=i-1 кц	д)а:=1; b:=1; S:=0; нц покаa<=5 a:=a+b; b:=b+a; S:=S+a+b кц
в) S:=0; i:=1; j:=5 нц пока i<j S:=S+i*j i:=i+1 j:=j-1 кц	е) a:=1; b:=1 нц пока a+b<10 a:=a+1 b:=b+a кц S:=a+b

7.15.Составьте алгоритмы решения задач линейной структуры (условия этих задач заимствованы из учебного пособия В.М. Заварыкина, В.Г. Житомирского и М.П. Лапчика "Основы информатики и вычислительной техники", 1989):

а) в треугольнике известны три стороныa,  bиc; найти (в градусах) углы этого треугольника, используя формулы:

С=180o-(А+В).

Пояснение.Обратите внимание на то, что стандартные тригонометрические функцииarccosиarcsinвозвращают вычисленное значение в радианной мере.Решение:

алгУглы треугольника(арг вещa,b,c,рез вещUgolA,UgolB,UgolC)

нач вещRadGr,UgolARad

| RadGr — коэф. перевода угла из радианной меры в градусную

| UgolARad — угол A (в радианах)

RadGr:=180/3.14

UgolARad:=ArcCos((b*b+c*c-a*a)/(2*b*c))

UgolA:=UgolARad*RadGr

UgolB:=ArcSin(b*sin(UgolARad)/a)*RadGr

UgolC:=180-(UgolA+UgolB)

кон

б) в треугольнике известны две стороныa,  bи уголC(в радианах) между ними; найти сторонуc,  углыAиB(в радианах) и площадь треугольника, используя формулы:

с²= a²+ b²- 2ab cos C.

Пояснение.Сначала нужно найти сторонуc, а затем остальные требуемые значения;

в)в треугольнике известны три стороныa, bиc; найти радиус описанной окружности и уголA(в градусах), используя формулы:

где

г)в правильной треугольной пирамиде известны сторона основанияaи уголA(в градусах) наклона боковой грани к плоскости основания; найти объем и площадь полной поверхности пирамиды, используя формулы:

V=Socн· H/2;
где

д)в усеченном конусе известны радиусы основанийRиrи уголA(в радианах) наклона образующей к поверхности большего основания; найти объем и площадь боковой поверхности конуса, используя формулы:

где

e) в правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равнаa, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под угломA; найти объем и площадь полной поверхности пирамиды и площадь сечения, проходящего через вершину пирамиды и диагональ основанияd; использовать формулы:

7.16.Составьте алгоритм решения задач развлетвляющейся структуры:

а) определить, является ли треугольник с заданными сторонамиa,  b,  cравнобедренным;Решение:

алгТреугольник(арг вещ a,b,c,рез логOtvet)

дано | a>0, b>0, c>0, a+b>c, a+c>b, b+c>a

надо | Otvet = да, если треугольник равнобедренный

| Otvet = нет, если треугольник не равноведренный

нач

если(a=b)или(a=c)или(b=c)

тоOtvet:=да

иначеOtvet:=нет

все

кон

б) определить количество положительных чисел среди заданных чиселa,  bиc;

в) меньшее из двух заданных неравных чисел увеличить вдвое, а большее оставить без изменения;

г) числаaиb— катеты одного прямоугольного треугольника, аcиd— другого; определить, являются ли эти треугольники подобными;

д) даны три точки на плоскости; определить, какая из них ближе к началу координат;

е) определить, принадлежит ли заданная точка  (x, y)  плоской фигуре, являющейся кольцом с центром в начале координат, с внутренним радиусомr₁и внешним радиусомr₂;

ж) упорядочить по возрастанию последовательность трех чиселa,  bиc.