§ 5. Законы операций над множествами

1. Коммутативные законы

А  В = В Ç А

А  В = В È А

2. Ассоциативные законы

А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С

А È (В È С) = (А È В) È С

3. Дистрибутивные законы

А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)

А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)

4. А Ç А = А

А È А = А

5. А Ç I = А

А È I = I

6. А Ç  = 

А È Æ = А

7. А Ç = Æ

А È =I

8.

9. А \ В = А Ç

10. =А

Докажем, что . Доказательство будем вести на основе свойства равенства множеств (А = В  А  В  В  А).

Доказательство. Пусть х   х  А  В  х  А  х  В  х   х   х  .

Обратно, пусть х  х   х   х  А  х  В  х  А  В  х  .

Т.к. и, то можно сделать вывод, что.

Остальные законы можно доказать аналогично.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под множеством?

2. Как называют объекты, из которых образовано множество?

3. Какое множество называют пустым?

4. Какие множества называют конечными и бесконечными?

5. В каком случае считают, что множество задано?

6. Укажите способы задания множеств.

7. В каком случае множество А является подмножеством множестваВ?

8. Какие подмножества называют собственными и несобственными?

9. Какие множества называют равными?

10. Сформулируйте свойство равенства множеств.

11. Какое множество называют пересечением, объединением, разностью множеств, дополнением одного множества до другого, дополнением множества до универсального?

§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств

В математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении множеств.

Условимся число элементов конечного множества А обозначать п (А).

Пусть А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {e, f}, п (В) = 2. Множества А и В не пересекаются, т.е. А  В = .

А  В ={a, b, c, d, e, f}, п (А  В) = 6, т.е. п (А  В) = п (А) + п (В).

Рассмотрим еще один пример. А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = { c, d, e}, п (В) = 3. В данном примере множества А и В пересекаются, т.е. А  В  .

А  В = {a, b, c, d, e}, п (А  В) = 5, т.е. п (А  В)  п (А) + п (В).

Вообще, если заданы конечные множества, такие что А  В  , то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле

п (А  В) = п (А) + п (В) – п (А  В).

Если даны три конечных множества А, В, С, то число элементов в их объединении можно найти по формуле:

п (А  В  С) = п (А) + п (В) + п (С) – п (А  В) – п (А  С) – п (В  С) + + п (А  В  С)

§ 7. Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Определение. Множество А разбито на классы А₁, А₂, ..., А_п, если:

1. подмножества А₁, А₂, ..., А_п не пусты;

2. подмножества А₁, А₂, ..., А_п попарно не пересекаются;

3. объединение подмножеств совпадает с множеством А.

Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной.

Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, т.к. выполнены все условия, данные в определении.

Если из множества треугольников выделить подмножества равносторонних, равнобедренных и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, т.к. множество равносторонних треугольников является подмножеством равнобедренных треугольников, т.е. не выполняется второе условие разбиения множества на классы.

Пример 1. Пусть А – множество двузначных чисел. Рассмотрим на этом множестве свойство «быть четным».

А

М

А₁

А₂

ножествоА разбилось на два подмножества:

А₁ – множество четных чисел,

А₂ – множество нечетных чисел, при этом

А₁  А₂ = А и А₁  А₂ = .

Т.о. задание одного свойства приводит к разбиению этого множества на 2 класса.

Пример 2. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть равнобедренным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество равнобедренных треугольников. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

По рисунку видно, что получилось 4 класса:

I – В  С – множество равнобедренных прямоугольных треугольников;

II – В  – множество прямоугольных, но не равнобедренных треугольников;

III –  С – множество равнобедренных, но не прямоугольных треугольников;

IV –  – множество не равнобедренных и не прямоугольных треугольников.

Т.о. с помощью двух свойств множество разбилось на 4 класса, таких, что их пересечение пусто, а их объединение составляет множество А.

Следует отметить, что задание двух свойств приводит к разбиению множества на 4 класса не всегда.

Пример 3. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть остроугольным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество остроугольных треугольников. Эти множества не пересекаются. По рисунку видно, что при помощи этих свойств множество треугольников разбивается на три класса:

I– множество прямоугольных треугольников;

II – множество остроугольных треугольников;

III – множество не прямоугольных, не остроугольных треугольников.