Парабола

В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.

Определение 2.7.Параболойназывается геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемойдиректрисойпараболы.

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса опустим перпендикулярна директрису. Начало координатрасположим на середине отрезка, осьнаправим вдоль отрезкатак, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора. Осьпроведем перпендикулярно оси(рисунок 2.15).

Рисунок 2.15.

Теорема 2.4.Пусть расстояние между фокусоми директрисойпараболы равно. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

(2.10)

Доказательство.В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка, а директриса имеет уравнение(рисунок 2.15).

Пусть - текущая точка параболы. Тогда по формуле для плоского случая находим:

Расстоянием от точки до директрисыслужит длина перпендикуляра, опущенного на директрису из точки. Из рисунка 2.15 очевидно, что. Тогда по определению параболы, то есть

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

Откуда

После приведения подобных членов получим уравнение (2.10).

Уравнение (2.10) называетсяканоническимуравнением параболы.

Предложение 2.4.Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью.

Доказательство.Проводится так же, как и доказательство (предложения 12.1).

Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.

Если переобозначить переменные ,, то уравнение (2.10) можно записать в виде

,

который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований (рисунок 2.16).

Рисунок 2.16 - Парабола

Пример 12.6Постройте параболу. Найдите ее фокус и директрису.

Решение.Уравнение является каноническим уравнением параболы,,. Осью параболы служит ось, вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси. Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменномуи находим значения. Возьмем точки,,. Учитывая симметрию относительно оси, рисуем кривую (рисунок 2.17)

Рисунок 2.17 - Парабола, заданная уравнением

Фокус лежит на осина расстоянииот вершины, то есть имеет координаты. Директрисаимеет уравнение, то есть.

Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рисунок 2.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.

Предложение 2.5Пусть- фокус параболы,- произвольная точка параболы,- луч с началом в точкепараллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точкеделит угол, образованный отрезкоми лучом, пополам.

Рисунок 2.18 - Отражение светового луча от параболы

Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.