67.Необходимое условие существования экстремума

Т: Если в точке х0 непрерывная функция f(x) достигает своего экстремума, то в этой точке, если у нее существует производная, то она равна 0, либо производная не существует.

Док-во: Существует 3 возможности у производной функции f(x) в этой точке:

Если дифференц функция в точке х0 отлична от 0, то по теореме Ферма в этой точке экстремума нет, следовательно остается только случай 2 и 3.#

68.Первый достаточный признак существования экстремума

Т3: Пусть х0-критич точка непрерывной функции f(x). Если f ‘(x) при переходе через точку х0 меняет знак с «+» на «-», то точка х0-точка локального максимума. Если f ‘(x) при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на «+», то точка х0-точка локального минимума. f ‘(x) при переходе через точку х0 не меняет знака, то точка х0 не является экстремальной.

Док-во: Пусть х0-критическая тока и для определенности

Тогда , гденекоторая точка, строго лежащая между х и х0 =>f(x)<f(x0)

Таким образом: точка максимума.

69.Второй достаточный признак существования экстремума.

Пусть в стационар точке х0 функция f(x) имеет f ``(x). Тогда если f``(x0)<0, то точка х0 является точкой минимума.

Док-во: Разложим функцию f(x) по формуле Тейлора до члена второго порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Т.к х0 является стационарной точкой, то f ‘(x0)=0. Получаем:

Это выражение, поскольку можно сделать в некоторой окрестности х0, того же знака, что и знакf ‘’(x0), а следовательно в этой окрестности f(x)-f(x0)≤0, если f ‘’(x0)<0 и наоборот, что согласно определению и означает, что точка х0 является точкой максимума или минимума соответсвенно.#

70. Наибольшее и наименьшее значение ф-ии на данном отрезке. Пусть f(x) непрерывна на [a;b] по теореме Вейерштрасса на данном отрезке достигает свое наибольшее и наименьшее значение те fϵC[a;b]=> [m;M]=E(f)-мн-во значений ф-ии. Для нахождения m M нужно: найти все точки f(x) принадлеж (a;b) x1,x2,x3…xn ,вычислить значения f(x) в(.) a, x1,x2,x3…xn,b; M=max{f(a), f(x1)…f(xn),f(b)} m=min{f(a), f(x1)…f(xn),f(b)}

71. Определение выпуклой и вогнутой функции. Опр: f(x)- выпуклая (вогнутая ) на (a;b) если ее график расположен ниже(выше) любой касательной к графику f(x) на этом интервале. Теорема: если ф-я f(x) на интервале (a;b) 2х диференц и f’’(x)>0 (f’’(x)<0) на этом интервале то ф-я f(x) вогнута(выпукла) на этом интервале. Докво: пусть f’’(x)>0 возьмем произвуравн касательной к графикуf(x) в (.) и ординаты Y: разложим по формуле Тейлора в окрестности (.)до членов 2-ого порядка:вычитаемвыражениев некоторой окрестности (.)х0 будет иметь тот же знак что иесли;y>Y=>f(x) – вогнута.

72.Определение точки перегиба. Необходимое условие существование точки перегиба.

Т: Пусть х0 является точкой перегиба функции f(x) и f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 вторую производную, тогда f ‘’(x0)=0.

Док-во: Предположим противное, что в точке х0 f ‘’(x) отлична от нуля, то тогда согласно теореме о достаточном признаке выпуклости и вогнутости, функц f(x) будет выпуклой или вогнутой, что противоречит тому что, точка х0-точка перегиба.

73.Первый и второй достаточный признаки точки перегиба.

Т7: Пусть f(x) имеет f ‘’ в окрестности точки х0, кроме может быть, самой точки х0. Если f ‘’(x) при переходе через точку х0 меняет знак , х0-точка перегиба.

Док-во: Следует из определения точки перегиба.

Опр: Точка (x0;f(x0))- называется точкой перегиба если она отделяет промежуток выпуклости от промежутка вогнутости(рис).

Т8: Пусть f(x) имеет в точке х0 конечную производную 3его порядка отличную от 0. Тогда: то х0 – точка перегиба.

Док-во: Разложим функцию f(x) по формуле Тейлора в окрестности х0 до членов 3 порядка. Получим:

, тогда выражение в некоторой окрестности точки х0 будет иметь постоянный знак тот который имеет значение 3 производной, а множительпри переходе через точку х0 будет менять свой знак, а значитбудет менять свой знак =>х0-точка перегиба.#