Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

§25. Индивидуальные задания по теме «Пределы»

1. Исходя из определения предела, доказать:

a) lim

x2 − x −12

=7 ;

a) lim

2x −1

=−2

;

1− x

x→4

x −4

x→∞

б)

lim

= ∞ .

б) lim

= ∞.

ln (1 + x)

2x −1

x→0

a) lim

x2 −1

= −2;

a) lim

4x2 −14x +6 =10 ;

x→1

1− x

x→3

x −3

1 cos πx

б)

lim

0 .

б) lim

= ∞ .

2x −1

x→∞ x

x→0

a) lim

2x −1

= 1

;

a) lim

x2 −2x −3

= 4 ;

4x +3

x→∞

x→3

x −3

xsin (πx)

б) lim

= 0.

б) lim

=∞.

1−3x

x→∞

x2 +1

x→0

a) lim 5x2 −4x −1 = 6 ;

a) lim

;

x→1

x −1

x→∞ x2 +

1 sinπx =0 .

б)

lim

б) lim

= ∞.

ln (1 − x)

x→∞ x

x→0

lim

5x2 −51x +10

= 49 ;

a) lim

2x −3

= 2 ;

x −10

x +

x→10

10.

x→∞

+ a

б)

lim

=1.

б) lim

=∞.

−

2x +

x→∞

x→1

a) lim

;

a) lim

x −1

=1;

x +7

11.

x→2

12.

x→∞ x +2

cos π

б)

lim

=0 .

б) lim

=∞.

x→∞ x2 −1

x→0 sin x

lim 2

= 0 ;

a) lim

=∞

;

x−2

3x−1 −1

13.

x→2−0

14.

x→1

x2 − x −6

2 −3x

б)

lim

= −5.

б) lim

=3.

x +

1− x

x→−2

x→∞

a) lim

x2 − x −6

= −1;

x +

15.

x→−2

(

)

б) lim

sin

πx2

x→∞ x −1

a) lim

x2 + x +1

;

x2 +

17.

x→0

б) lim 2

x−1

=1.

x→∞

a) lim

x +5

=∞

;

x2 −25

19.

x→5

б) lim

0 .

4x +1

x→∞

a) lim

5x2 −24x −5

= 26

;

x −5

16.

x→5

б)

= 0 .

lim 4

x+2

x→−2+0

a) lim

−2x +1

= 0 ;

x2 −1

18.

x→1

cos π

б)

lim

=0 .

x→∞ x2

a) lim

3x2 −40x +128

;

x −

20.

x→8

б)

lim

sin

=0 .

−1

x→∞ x2

Доказать, что функция f

(x) не имеет предела при x → x0 :

f (x)=sin

= 2 .

f (x)=sin

= 3 .

x −

f (x)=1−2cos π

= 0 .

f (x)=cos

= 2 .

x −

f (x)=1+sin π

f (x)=cos

=1 .

= 0 .

x −1

f (x)=2sin

x0 = −1 .

f (x)=cos

= 5 .

x +1

x −5

f (x)=1+cos

= 0 .

10.

f (x)=sin

= 5 .

x −

11.

f (x)=sin

= 0 .

12.

f (x)=sin

= −3 .

x +

13.

f (x)=sin

= −2 .

14.

f (x)=1−cos

=1 .

x −1

15.

f (x)=1+sin

=1 .

16.

f (x)=1+2cos

= 3 .

x −1

−3

17.

f (x)= 2cos

= 3 .

18.

f (x)=cos

= −3 .

−3

x +3

f (x)= 1 cos 1

19.

f (x)=cos

= 2 .

20.

−2, x0

= 0 .

−

Исходя из определения непрерывности,

убедиться,

что функция f (x)

непрерывна на всей области определения:

f (x)= x3 +3x + 2 .

f (x)=cos2x .

f (x)=

x −4

f (x) = ex+1 .

f (x)= x2 +3x − 2 .

f (x)= sin

f (x)= tg

f (x)=ln(x −2).

10.

f (x)= e3 x .

11.

(

)

= x

+ ex .

12.

(

)

=sin

(

)

+1 .

13.

f (x)= cos(x2 ).

14.

f (x)=1 +sin (x2 ).

15.

f (x)= e3x +sin x .

16.

f (x)= e2 x − x2 .

17.

f (x)= 4 − tg(2x).

18.

f (x)= x4 + 3x2 −1.

19.

f (x)= x3 + 3x + sin x .

20.

f (x)= x −sin x .

Вычислить пределы:

а)

lim (x +1)(x3 −2x −1)

;

б)

lim

1 + 2x −3

;

x − 2

x→−1

x4 + 4x2 −5

x→4

в)

lim

ln(1+sin x)

;

г) lim

x2 −1

;

x→0 sin(4x −4π)

x→1

ln x

2 x

−

3 x

))

д)

lim

;

lim 1−ln 1+ x

е)

x2 arcsin x

;

x→0 2x − arctg x

x→0

(

2cos 2 x −1

3x −1

ж)

lim

;

з) lim

3 x −1

lnsin x

x +1

x→π

x→1

а)

lim

x3 −6x2 +12x −8

;

б)

lim

1 − x −3

;

x3 −

3x2 +

2 + 3

x→2

x→−8

ln (1−7x)

г)

lim

ln 2x −ln 2π

;

в)

lim

;

x→π

sin (πx +7π )

sin

x→0

cos x

lim

−2

д)

;

е)

limx→0 (1−e

)

ln(1+tg2 ((πx)

3))

;

x→0

x −sin 9x

ln (2x −5)

2x −7 3

ж) lim

;

з)

lim

x −2

sinπx

−1

x +1

x→3

x→8

а)

lim

x3 −3x −2

;

б)

lim

3 x −6 + 2

;

x + x2

x3 +8

x→−1

x→−2

в)

lim

1−cos10(x +π )

;

г)

lim

x2 − x +1 −1

;

−1

ln x

x→0

x→1

(2x −

e3x

− e−2 x

д)

lim

;

е)

lim

;

2arcsin x −sin x

x→1 2 esin π x

− e−sin 3π x

x→0

sin x x−a

ж) lim

(cos

x )x ;

з)

lim

x→0

x→a

sin a

а)

lim

x3 +5x2 +8x +4

;

б)

lim

x −1 ;

x→−2

x3 +7x2 +16x +12

x→1 3 x2 −1

5π

ln tg x

cos x

tg x

г)

lim

;

в)

lim

;

cos2x

x→π

x→0

arcsin 2x2

esin2 6 x

−esin2 3x

д)

lim

;

е)

lim

e4 x

− e−2 x

;

log3 cos6x

2arctg x −sin x

x→π

x→0

cos x

arcsin (x −3)

−8

ж) lim

x−2

;

з)

lim

sin 3πx

x→2

cos 2

x→3

а)

lim

(x2 +3x + 2)2

;

б)

lim

x − 2

;

x→−1 x3 + 2x2 − x − 2

x→16

x − 4

в)

lim

3x2 −5x ;

г)

lim1+cos3x ;

x→0

sin3x

x→π

sin2 7x

ln (x −

3 2x −3 )

62 x −7−2x

д)

lim

;

е)

lim

;

sin (π x 2)−sin (π x)

x→2

x→0 sin3x −2x

ж) lim

1 + x2x x

з)

lim

ln tgx

x−π 4

1 + x3

;

1 −ctgx

x→0

x→π

а)

lim

x3 −3x − 2

;

б) lim

9 + 2x −5

;

x→−1

− x

− 2)

x→8

x − 2

в)

lim

ln (1 −3x)

;

г)

lim

eπ −ex

;

sin 5x −sin 3x

x→0

8x + 4 − 2

x→π

esin 2x −etg2x

12x −5−3 x

д)

lim

;

е)

lim

;

ln(2x π)

2 arcsin x −x

x→π

x→0

2x −1 5 x −1

ж) lim(

2 −3sin

x )ln cos x ;

з)

lim

x→0

x→1

(

2x2 − x −1 2

б)

lim

x − 2

;

а)

lim

)

;

x→16

3 (

x − 4)

x3 + 2x2 − x −

x→1

в)

lim

1−cos2x

;

г)

lim

1−sin 2x

;

cos7x −cos3x

x→0

x→π

(π −4x)

tg x − tg 2

д)

lim

;

е)

lim

e5x −e3x

;

sin ln (x −1)

x→2

x→0 sin 2x −sin x

πx

x tg 2a

ж) lim(

2 −3arctg

x )sin x ;

з)

lim

2 −

x→0

x→a

а)

lim

x3 −3x −2

;

б)

lim

3 x −1

;

x −2

x +1 − 2x

x→2

x→1

в)

lim

sin

;

г) lim

ln (9 −2x2 )

;

x→0

+πx

x→2

sin 2πx

д)

lim

tg (ex+2 −ex2 −4 )

;

е) lim

e7 x −e−2 x

;

x→−2

tgx + tg2

x→0

sin x −2x

ж) lim(

2 −cos x)

;

з)

lim

2 − x ln(2−x)

x→0

x→1

а)

lim

(x2 + 2x −3)2

;

б)

lim

3 16x − 4

;

x + 4 − 2x

x→−3

x3 + 4x2 + 3x

x→4

4 + x − 2

г) lim1+cosπx ;

в)

lim

;

3arctgx

x→0

x→1

tg2πx

д)

lim

etg2 x

−e−sin 2 x

sin x −1

;

x→π

+sin xcosαx ctg3x

ж) lim

;

x→0

+sin xcos βx

а)

lim

−3x −2

;

+2x +

x→−1 x2

в)

lim

;

tg (π (

2 + x))

10.

x→0

2x + 7 − 2x+1 + 5

д)

lim

;

x3 −1

x→1

ctg2 x

ж) lim

−

;

x→0

cos x

а)

lim

(x3 − 2x −1)2

;

x→−1

x4 + 2x +1

в) lim ( ( )); x→0 tg π 1 + 2x

11. lnsin3x д) lim −π 2 ;

x→π 6 (6x )


			1
			4
			4	sin2	3x
ж) lim	5	−				;
ж) lim	5	−				;
x→0			cos x

а) lim		x2 −2x +1				;
а) lim		x3	− x2 − x +		1	;
x→1		x3	− x2 − x +		1
в) lim	1−cos3 x			;
в) lim		4x2π		;
x→0		4x2π
12.		ln	(2 +cos x)
д) lim		ln	(2 +cos x)		;
д) lim				)	;
	(			)
x→π			3sin x −1 2
		sin x −sin a					x2
		sin x −sin a					a2
ж) lim			x − a				;
x→a			x − a

е) lim	32 x −53x	;
	arctg x + x3
x→0

ctg2 x

з) lim (cos x)sin 3x .

x→2π

б) lim x −1 ;

x→1 x2 −1

г)	lim		tg3x ;
	x→π	2	tgx
е)	lim		e2 x − e3x	;
е)	lim	arctg x − x2		;
	x→0	arctg x − x2

з) lim (cos x)sin2 2 x .

x→2π

б) lim

3 4x −1

;

2 + x −

x→2

г) lim

sin2 x − tg

2 x

;

(x −π )4

x→π

е) lim

35x −27 x

;

arcsin2x − x

x→0

sin (x −1)

sin(x−1)

з) lim

x−1−sin(x−1)

x −1

x→1

б) lim

1 + x −

1 − x

;

x→0

г) lim tgπx ;

x→−2 x +2


е) lim		e5x −ex			;
	arcsinx + x3
x→0
		2 − x		1
з) lim			ln(	2−x)		.
		x
x→1

а)

lim

x4 −1

;

б)

lim

x −2

;

2x4 − x2 −1

x→1

x→4 3 x2 −16

в)

lim

arcsin3x

;

г)

lim

1−sin(x 2)

;

2 + x −

13.

x→0

x→π

π − x

(x − 2π )2

e3x −e2 x

д)

lim

;

е)

lim

;

sin 3x − tg2x

x→2π lg (cos x −1)

x→0

ж) lim(

6 − x tg

πx

2 −earcsin

з)

lim

x )x ;

x→0

x→3

lim (1 + x)

−(1 + 3x);

б)

lim

3 x 16 −1 4

;

а)

1 4 + x −

x→0

x + x5

x→1 4

в)

lim

2x+1 −2

;

г)

lim

x2 − x +1 −1

;

ln(1+4x)

14.

x→0

x→1

tgπx

lncos2x

4x − 27 x

д)

lim

;

е)

lim

;

tg3x − x

x→2π lncos4x

x→0

x + 2 −

cos x

ж) lim

;

з)

lim

ctg

−4

x→2

x→π

а)

lim

x3 +5x2 +7x +3

;

б)

lim

3 9x −3

;

5x + 2

x→−1 x3 + 4x2 +

x→3

3 + x − 2x

в)

lim

2sin (π (x +1))

;

г)

lim

cos5x −cos3x

;

ln 1 + 2x

)

sin

x→0

(

x→π

15.

lim (

x3 −π

)

sin 5x

2 x

−

д)

;

е)

lim

;

x −1)

sin x +sin x2

x→π

(esin

x→0

ж) lim(cosπx)

;

з)

lim

(cos x)

ctgx

x sin πx

sin 4 x

x→0

x→4π

а)

lim

−3x + 2

;

б)

lim

x 4 −1 2

;

1 2 + x −

x3 − x2 − x +

16.

x→1

x→1 2

в) lim cos2x −cos x ;

1−cos2x

г)

lim

;

x→0

1−cos x

x→π

π −3x

д)

lim

lnsin x

;

е)

lim

ex − e−x

;

tg2x −sin x

x→π

2 (2x −π)

x→0

)

з)

lim

(

3 − 2x

)

πx

2 .

ж) lim 1

sin

ln cos x

;

x→0

(

x→1

а)

lim

x3 −2x −1

;

б)

lim

10 − x − 6 1 − x

;

+2x +1

2 +

x→−8

x→−1 x

в)

lim

arctg2x

;

г)

lim

sin 7x −sin 3x

;

sin (

2π (x +10))

−e

x→0

x→2π

4π

17.

д) lim ln cos 2x2

;

е)

lim

− e−2 x

;

x→π

−

x→0

sin 3x − tg2x

ctg x

(cos x)

ж) lim

− x

;

з)

lim

tg5 xsin 2 x

x→0

x→4π

а)

lim

x2 −1

;

б)

lim

1−2x + x2

−(1+ x)

;

2x2 − x −

x→1

x→0

в) lim1−

cos x ;

г)

lim sin 7πx

;

18.

x→0

xsin x

x→2

sin8πx

д)

lim

ax2 −a2

;

е)

lim

102 x

− 7−x

;

tg ln (x a)

2tg2x −arctg x

x→a

x→0

sin x

x−3

ж) lim

(1 − xsin

x)ln(1+πx

);

з)

lim

x→0

x→3

sin 3

а)

lim

x3 +5x2 +8x + 4

;

б)

lim

9 −8x −1

;

x3 +3x2 −

x −

x→−2

x→1

в)

lim

ln (x2 +1)

;

г)

lim

arctg(x2 −2x)

;

2x2 +

19.

x→0 2 −

x→2

sin3πx

ln cos x

− 23 x

д)

lim

;

е)

lim

;

3sin 2x −1

x→2π

x→0

arctg2x − 7x

(

)

ctgπ x ;

x +1

ln(x+2)

ж) lim

2 − esin x

з)

lim

ln(2−x)

x→0

x→1

а)

lim

+7x2 +15x +9

;

б) lim

17 −8x −1

;

+8x2 +

21x +18

x − 2

x→−3 x3

x→2

в)

lim

sin

2 x − tg2 x

;

г) lim

−16

;

sinπx

20.

x→0

x→4

lim

cos(x 2)

е) lim

e2 x − ex

;

д)

esin x −esin 4 x ;

tg x2 + x

x→π

x→0

ж) lim (1 − ln cos x)ctg2 x ;

ln(x+1)

з) lim

ln(2−x)

x→0

x→1

5.	Сравнить бесконечно малые функции α (x) и β (x) при x → x0 :

1.	α(x)=1+cos3x ,				2.	α (x)= ax − a−x ,
	β (x)= sin2 7x , x0 = π .					β(x)= tg x , x0 = 0 .

3.	α(x)=ln(1+ x2tg x ),				4.	α (x)= e x3 ,
	β (x)= x , x0		= 0 .			β(x)=1−cos(sin x), x0 = 0 .

5.	α (x)= 3 1 −		x −1,		6.	α (x)= sin ( 9 + x −3),
	β (x)= x , x0 = 0 .					β (x)= x , x0 = 0 .

7.	α (x)= ln (1 + x ),				8.	α(x)=ln(1+ x3 ),
	β (x)= x , x0 = 0 .					β (x)= x , x0 = 0 .

9.	α(x)=1−cos x ,				10.	α (x)=1 −cos 3 x2			,
	β (x)= x , x0		= 0 .			β (x)= x , x0 = 0 .

11.	α(x)= ln (x −3),				12.	α(x)= ln (x −6),
	β (x)= x2 −5x + 4 ,			x0 = 4 .		β (x) = 3 8 − x −1,			x0 = 7 .

13.	α(x)=lncos x ,				14.	α (x) = cos2 3x −1,
	β (x) = 3sin x	−1, x0		= 2π .		β (x)= sin2 2x , x0			= π .

	α(x)=1− x	,				α(x)=	x −4	,
15.					16.
	1+ x						x +4
	β (x) = 2 − 2 x , x0 =1 .					β (x) = 2 − x , x0 = 4 .

17.	α(x)= 4 − x2 ,	18.	α(x)= 9 − x2 ,
17.	2 + x	18.	3 + x
	β(x)=ln(3 − x), x0 = 2 .		β(x)=ln(4 − x), x0 = 3 .
			α(x) =(100x +1)x−100 −1,
19.	α(x) =(10x +1)x−10 −1,	20.	α(x) =(100x +1)x−100 −1,
19.	β(x)=ln(11− x), x0 =10 .	20.	β (x)= ln (101− x), x0 =100 .

6.Исследовать на непрерывность, выяснить характер точек разрыва и изобразить графически следующие функции:

а) y (x)=			x	2	− 4, x < −2;
а) y (x)=			x		− 4, x < −2;
			x −3				, x ≥ −2.
1.
1.		1
б) y(x)=		1				.
б) y(x)=	2x −1					.
	2x −1
			−x, x ≤ 0;
а) y(x)=
а) y(x)=	2, 0 < x ≤ 2;

3.x2 +3, x > 2.

б) y(x)=2 −3								x+1
б) y(x)=2 −3								x		.
				x −3, x < 0;
а) y(x)= x +1, 0 ≤ x ≤ 4;
5.				+					x, x > 4.
5.		3		+					x, x > 4.
б) y(x)=1−				1										.
б) y(x)=1−					x +				2					.
					x +				2
								−1, x ≤ 0;

а) y(x)= 2sin x, 0 < x ≤π 2;
7.	π			+ 4					− x, x >π 2.
7.				2					− x, x >π 2.
				2
				1
б) y(x)=1+2												.
б) y(x)=1+2							3x−2					.
а)	y(x)=	x	a − x								.


		a − x
9.		a − x
9.						1
б) y (x)= 2 +						1									.
б) y (x)= 2 +						1									.
					1 + 3								x−2

а) y (x)=				x	2	− 4, x < −3;

			x − 4					, x ≥ −3.
2.
			1
б) y(x)=							.
		3x −1

				2	+1, x ≤1;
а) y(x)=	x
	2x, 1 < x ≤ 3;

4.x +3, x > 3.

б) y(x)=1−2

x−2

x2 , x < 0;

а) y(x)= 1 − x, 0 ≤ x <1;

ln x, x ≥1.

б) y(x)=

−1

+83−x

ex , x ≤ 0;

а) y(x)= sin x, 0 < x ≤π 2;

ln (x −π 2), x >π 2.

б)

y(x)=

x3 −1

а)

y(x)=

x −2

−

1 .

x −2

10.

б) y (x)= −1 +

1−x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
16.03.2015245 Кб50Matan.doc
#
16.03.20151 Мб74Matanaliz.pdf
#
16.03.2015295 Кб40Матан Лекции.pdf
#
16.03.20152 Мб225Учебник Математический Анализ Конев.pdf