Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

§22. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость рядов

∞

Ряд ∑an , члены которого an , называется абсолютно сходящимся, если

n=1

∞

сходится ряд ∑an . Абсолютно сходящийся ряд сходится, обратное утвержде-

n=1

ние неверно.

		∞
Признак Лейбница. Пусть ряд ∑(−1)n an знакочередующийся, где an ≥ 0 ,
		n=1
если последовательность {	an	} убывает и lim	an	= 0 , то ряд сходится.
если последовательность {	an	} убывает и lim	an	= 0 , то ряд сходится.
		n→∞
		n→∞

∞

Ряд ∑an , члены которого an , называется условно сходящимся, если он

n=1

∞

сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин ∑an , расходится.

n=1

22.1. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:

∞	(−1)n (2n +1)		;	∞	(−1)n+1	.
1) ∑	2	n		2) ∑	n
n=0				n=1

22.2. Применяя признак Лейбница, показать, что данный ряд сходится:

∑(−1)

n−1

;

∑ (−1)

n−1

2 ;

∞

n=1 2n −1

n=1

(3n +5)

∑(−1)

;

∑(−1)

n ;

∞

n=1

n=1 n + 20

∑(−1)

ln n ;

∑(−1)

sin (π n).

∞

n=1

22.3. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

∑(−1α)

n+1

;

∑(−1)

;

∞

n=1

n=2

ln n

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

(n −1)

∑

;

∑

;

n + 2

(n +1)

n 1

n=2

∞

n+1

5) ∑(−1)

;

n=1

∞

7) ∑(−1)n+1 n10e−n ;

n=1

9) ∑ (−1)

n+1

;

∞

n=1

2n −arctg n

∞

11) ∑(−1)n+1 arctg2

;

n=1

∞

(2n +1)!!

13) ∑(−1)n−1

;

2 5 8 ... (3n −1)

n=1

∞

(−1)

cos(π n)

15) ∑

;

n=1

∞

πn

17) ∑

cos

;

n +

n=2

∞

(−1)

19) ∑

;

(n +(−1)n )

n=2

∞sin πn

21)∑ ln12n ;n=2

∑ (−13)

;

∞

n =2

n ln

∞

3n +

8) ∑(−1)

;

4n +

n=0

∞

(n2−1)

10)

∑(−1)n+1

;

n=1

12)

∞

;

∑(−1)n+1

n=1

∞

1 4 ... (

3n −2)

14)

∑(−1)n−1

;

7 9 ... (2n +5)

n=1

∞

n2 + k 2 );

16)

∑sin (π

n=1

18)

∞

(−1)n

∑ln 1

;

n=2

∞

(−1)

n−1

20)

∑

;

( n

+(−1)n+1 )

n=1

∞

sin n

22)

∑

n=10 n +10sin n

+∞	k −1			1
22.4. Найти сумму ряда ∑(−1)		ln 1	−				.
22.4. Найти сумму ряда ∑(−1)		ln 1	−	(k +	1)	2	.
n=1				(k +	1)

§23. Функциональные и степенные ряды

∞

Множество значений x , при которых функциональный ряд ∑ fn (x) сходит-

n=1

∞

ся, называется его областью сходимости, а функция f (x)= ∑ fn (x) – суммой

n=1

ряда.

∞

Ряд ∑ fn (x) называется равномерно сходящимся на множестве X, если для

n=1

любого ε > 0		существует номер N, не зависящий от x, такой, что при n > N
	fn (x)− f (x)	<ε одновременно для всех x X .

			∞
	Признак Вейерштрасса. Ряд ∑ fn (x) сходится абсолютно и равномерно на
			n=1
			∞
множестве			Х, если существует сходящийся числовой ряд ∑an такой, что
			n=1
	fn (x)	≤an	при x X .
	fn (x)	≤an	при x X .

23.1. Найти сумму следующих функциональных рядов:

	∞
1)	∑x2n ;
	n=0
	∞	n−1 (x −3)	n−1
	∞	n−1 (x −3)
3)	∑(−1)	n	;
	n=1	3

∞

2) ∑(−1)n (2x)n ;

n=0
∞		x	2
4) ∑		x				.
4) ∑	(	+ x		)	n	.
	1	+ x
n=0			2
n=0

23.2. Найти область сходимости функциональных рядов:

∑(−1n)

∞

;

∑ 21n+1 ;

∞

n=0

n=1

∞

x(x + n) n

∑n=1

;

∑

;

3nx−1

n=1

∞

1+2x

∑

;

∑

;

1 + x

n=1

1+3x

∞

1+ 2x

∞

n −1

∑

;

∑(−1)

;

4 + x

n (n

n n

3x −1

n 1

∞

(−1)n+1 2 +3x n

;

9) ∑

3 + x

n=1

∞

1 − x

11) ∑

;

ln (1 + n)

n=1

1 + x

∞

ln n

13) ∑

;

n=1

∞

;

15) ∑cos3nx

n=1

∞

17) ∑xn sin

;

n=0

∞

19) ∑

;

n=1

∞

21) ∑

;

(x +1)...(x + n)

n=1

∞

23) ∑

;

n=1

∞

(−31x−)2 ;

25) ∑

n=1

27) ∑arctg (nx

)sin x ;

∞

n=1

n3 + x2

∞

(

−1)

29) ∑

;

(

)(

+ x

)

...

(

n + x

)

n=1

1 + x

∞		(−1)n	1+ x n
10) ∑				;

n=1	3	n −ln n	3 + 2x

12) ∑∞ 1 ;

n=1 nx

∞

14)

∑nln x ;

n=2

∞

16)

∑tg

;

n=0

∞

cos nx

(a >1);

18)

∑

n=0

∞

20)

∑ xn +

;

n n

n=1

∞

sin2

x ;

22)

∑

n=1

∞

(n + x)

24)

∑

;

n+x

n=1

∞

26)

∑

;

1+ x

)

n=1

(

28)

∞

n ;

∑ln

n=1

∑∞ 1 x n

30) . n=1 n x

23.3.Исследовать функциональные последовательности на равномерную сходимость в указанных промежутках:

1)fn (x)= xn , а) 0 ≤ x ≤12 ; б) 0 ≤ x ≤1.

2)fn (x)= xn − xn+1 , 0 ≤ x ≤1.

3)fn (x)= xn − x2n , 0 ≤ x ≤1.

4)fn (x)= x +1 n , 0 < x < +∞.

5)fn (x)=1+nxn + x , 0 ≤ x ≤1.

6)fn (x)=1+2nnx2 x2 , а) 0 ≤ x ≤1; б) 1 < x < +∞.

7)fn (x)= x2 + n12 , −∞ < x < +∞ .

8)	fn (x)=	sin nx	, −∞ < x < +∞ .
		n

9)fn (x)=arctg nx , 0 < x < +∞.

10)fn (x)= x arctg nx , 0 < x < +∞.

11)fn (x)= nx ln nx , 0 < x <1.

12)fn (x)= n 1 + xn , 0 ≤ x ≤ 2 .

13)fn (x)= 2 +1 + , 1 ≤ x < +∞.

xnx 1

14)fn (x) = n(1 − x)xn−1 , 0 ≤ x ≤1.

15)fn (x)=sin2n x + n12 , а) 0 ≤ x ≤π ; б) δ ≤ x <π −δ , δ > 0 .

23.4.Исследовать характер сходимости следующих рядов:

∞

∑xn , а) на интервале

< q , где q <1; б) на интервале

<1.

n=1

∞

∑

, на отрезке −1 ≤ x ≤1.

n=1

∞

∑

, на интервале 0 < x < +∞.

n=0

∞

∑(1 − x)xn , на отрезке 0 ≤ x ≤1.

n=0

∞

∑

, на интервале 0

< x < +∞.

(x + n)(x + n +1)

n=1

23.5.Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных промежутках следующих функциональных рядов:

∞

(−1)

∑

, −∞ < x < +∞ ;

∑

, −2 < x < +∞;

+ x

n=1

x + 2

∞

∑

, 0 ≤ x < +∞;

∑

, −∞ < x < +∞ ;

n=1

1 + n

n=1

1 + n

∞

(xn + x−n ),

1 ≤

∑

≤ 2 ;

n=1

∞

∑cos2nx

, −∞ < x < +∞ ;

n=1

∞

∑x2e−nx , 0 ≤ x < +∞;

n=1

∞

, если a0

23.6. Найти сумму ряда ∑ n

n=1

творяют соотношениям an+2 + 2nan+1

			∞	sin nx
	6)		∑	sin nx			, −∞ < x < +∞ ;
	6)		∑	n4 + x4			, −∞ < x < +∞ ;
			n=1	n4 + x4
	8)		∞
	8)		∑sin nx , −∞ < x < +∞ ;
			n=1	n n
			∞			2x
	10) ∑arctg					2x			, −∞ < x < +∞.
	10) ∑arctg				x	2		3	, −∞ < x < +∞.
			n=1		x	+ n
= 0 ,	a1 =1 и коэффициенты an удовле-
	2	− n +		2		= 0		при n = 0, 1, 2, ....
+ n		− n +		an		= 0		при n = 0, 1, 2, ....
				9

			∞		2n x
			∞			− 2x . Найти сумму данного
23.7. Доказать, что если 0 ≤ x <1, то ∑				(−1)n	=1	− 2x . Найти сумму данного
			n=1	2
ряда при x ≥1.
23.8. Является	ли ряд ∑∞	x	(1− x2 )n	равномерно сходящимся на отрезке
	n=1		n
− 2; 2	?

23.9. Доказать, что ряд ∑∞ 1 cos(n(x + ln ln n)) расходится при всех x . n=1 ln n

23.10. Доказать, что существует бесконечно много положительных x , для кото-

рых сумма ряда ∑∞ (−1)n+1 есть рациональное число. n=1 n + x

§24. Степенные ряды и их применения

∞

Ряд ∑an (x − a)n называется степенным рядом. Для каждого ряда существу-

n=1

ет число R, которое называется радиусом сходимости. Ряд сходится в интерва-

ле (a −R; a + R).

Если функция f (x) в некоторой окрестности точки а раскладывается в сте-

пенной ряд, то этот ряд имеет вид:

f (x)= f (a)+ f ′(a)(x − a)+... + f (nn) !(a)(x − a)n +... (ряд Тейлора).

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций:

∞

ex = ∑

, (x

);

n=0 n!

∞

2n+1

sin x = ∑(−1)n

);

(2n +1)!

n=0

∞

cos x = ∑(−1)n

, (x

);

(2n)!

n=0

∞

−

n−1

(

−1, 1

;

ln (1

∑(

))

n=1

m =

∞ m(m −1)...(m − n +1)

n ,

(

−1, 1

∑

))

n=0

24.1. Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующих степенных рядов:

∞

∑xn ;

∑5n xn ;

n=0

∞

∑(ax)n , (a ≠ 0);

∑(n +1)2 xn ;

n=0

∞

∑

;

∑

;

ln n

n − ln n

n=1

n=2

∞

(x −1)

∞

∑

;

∑

;

n=0

2n +1

n=1

∞

9) ∑n!xn ;

n=1

∞

2n−1

11)

∑

(−1)n−1

;

n=1

2n +1

∞

n(x −5)

n+1

13)

∑(−1)n

;

n=1

(n +1)!

∞

(x +1)

3n−2

15)

∑

;

(n +1)ln (n +1)

n=1

∞

+(−2)

17)

∑

(x +1)n ;

n=1

∞

(0 <α <1);

19)

∑αn2 xn

n=1

21)

∑(−1)n

(n!)

xn ;

∞

n=1

(2n +1)!

∞

−

23) ∑

;

n=1

n2 +1

∞

(−1)

25)

∑

xn ;

n=1

∞

n!x

27)

∑

;

n=1

∞

(x −1)

29) ∑

;

n=1

nln n

∞

10)

∑e−n xn ;

n=1

∞

(n −1)(x +3)n

12)

∑

;

n+1

n=1

∞

n−1 (x −

14)

∑(−1)

n ;

n=0

16)

∞

;

∑ 1 +

n=1

∞

(n!)

18)

∑

xn ;

(2n)!

n=1

∞

(a >1);

20)

∑

n=1

∞

22)

∑

, (a > 0);

n=1

∞

(2n)!!

24)

∑

xn ;

(2n +1)!!

n=1

∞

26)

∑

;

n=1

sin n

∞

(−1)

28)

∑

;

5n 3 n2 +1

n=1

∞

(4n)!

30)

∑

(x + 2)2n .

n=0

(n!)

24.2.Пользуясь основными разложениями, написать разложения в степенной ряд относительно x следующих функций:

1)	e−x2 ;				2)	cos2 x ;
3)		x	;				x10
					4)			;
		1− x
							1− x
5)	1			;	6)		x		;
		(1− x)2					1−2x

7)	ln 1 + x		;				8)			x					;
7)	ln 1 + x		;				8)	1+ x −2x2							;
		1 − x						1+ x −2x2
9)		12 −5x		;			10)					x						;
9)		6 −5x − x2		;			10)		(1− x) 1− x2							)		;
												(				)
11)	1		;				12)			1				;
11)		1− x − x2	;				12)		1+ x + x2					;
13)		xsin a				;	14)					1							.
								(				)					2
	1−2xcosa + x				2			(		− x	2	)	1 − x				2
	1−2xcosa + x							1		− x			1 − x

24.3.Разложив предварительно производные, путем почленного интегрирования получить разложения в степенной ряд следующих функций:

1)	f (x)=arctg x ;	2)	f (x)=arcsin x ;
3)	f (x)=ln(x + 1+ x2 );	4)	f (x)= ln (1 − 2xcosα + x2 ).

24.4.Применяя различные методы, найти разложение в степенной ряд следующих функций:

1)	f (x)=(1+ x)ln(1+ x);				2)	f (x) = arccos(1 − 2x2 );
3)	f (x)=arctg	2	−2x	;	4)	f (x)=arctg		2x	.
		1	+4x				2	− x2

24.5.Применяя почленное дифференцирование, вычислить суммы следующих рядов:


1)	x +	x3	+		x5		+... ;			2)	x −		x3	+		x5	−...;
1)	x +	3	+		5		+... ;			2)	x −	3		+	5		−...;
		3			5							3			5
3)	x −	x2		+	x3		−...;			4)	1+	x2		+	x4		−...;
3)	x −	2		+	3		−...;			4)	1+	2!		+	4!		−...;
		2			3							2!			4!
	x			x2				x3				1				1 3			2		1 3 5 3
5)		+				+			−...;	6)	1+	2 x +						x		+		x	....
																2 4					2 4 6
	1 2			2 3				3 4								2 4					2 4 6

24.6. Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы рядов: 1) x + 2x2 + 3x3 +...; 2) x − 4x2 + 9x3 −16x4 +... .

24.7. Пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функций ex , sin x и cos x , вычислить указанные выражения:

1)e2 с точностью до 0,001;

2)e−1 с точностью до 0,001;

3)e−14 с точностью до 0,0001;

4)sin10 с точностью до 0,0001;

5)cos10 с точностью до 0,001;

6)sin100 с точностью до 0,00001;

7)cos100 с точностью до 0,0001;

8)sin 0,5 с точностью до 0,001.

24.8.Пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функции (1 + x)m , вы-

числить указанные корни с точностью до 0,001:

1)	3	30 ;	2)	3 4 ;	3)	3 128 ;
4)	6 10 ;		5)	5 15 ;	6)	8	516 ;
7)	4	2000 ;	8)	2000 ;	9)	10	1027 .

24.9. Вычислить с точностью до 0,001 интегралы:

	0,2	−x			0,5	arctg x dx ;
1)	∫	e 3	dx ;	2)	∫	arctg x dx ;
	0,1	x			0	x
	0,8	10			0,5	dx
3)	∫ x		sin xdx ;	4)	∫			;
3)	∫ x		sin xdx ;	4)	∫	1+ x	4	;
	0				0	1+ x
	0,5				1
5)	∫ sin x dx ;			6)	∫e−x2 dx ;
	0	x			0
	3				0,5
7)	∫arctg 1 dx ;			8)	∫	xexdx .
	2		x		0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
16.03.2015245 Кб50Matan.doc
#
16.03.20151 Мб74Matanaliz.pdf
#
16.03.2015295 Кб40Матан Лекции.pdf
#
16.03.20152 Мб225Учебник Математический Анализ Конев.pdf