6) Числовые последовательности. Придел числ.Послед.

Числовая последовательность - функция, заданная на множестве натуральных чисел со значениями во множестве действительных чисел.

Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}^∞_n-1 , если для любого положительного e ("e>0) существует номер n такой, что при всех номерах n>n выполняется неравенство Ia_n-AI<ε. Последовательность {a_n}^∞_n-1 называется сходящейся к числу А. Кратко это можно записать так: _n=A.

7) Свойства сходящихся последовательностей: 1) Числ.послед.может иметь только один предел. 2) Ограниченность. 3) Зажатая последовательность. 4) lim x(n)=a, y(n)=b, a<b⟹x(n)<y(n), n>N(0).

Сход.послед.-послед.х_n, если она имеет конечный придел и расходящийся, если она предела не имеет.

Последовательность (x_n) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число a и для произвольного ε > 0 существует натуральное число m такое, что для всех n > m справедливо неравенство |x_n - a| < ε.

При этом число a называют пределом последовательности (x_n), что символически записывают

_n=a или x_n → a при n → ∞.

Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема «Об единственности пределов» Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного) {xn} имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Пусть посл-ть {xn}а  >о N:n>Nxn-a< эквивалентна а-<xn<a+ n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуxn c = max {a-,a+,xn,…,xn-1} Теорема «Об арифметических дейсьвиях» Пусть посл-ть {xn}a,{yn}b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем: а) предел lim(n)(xnyn)=ab б) предел lim(n)(xnyn)=ab в) предел lim(n)(xn/yn)=a/b, b0 Док-во: а)xnyn=(а+n)(b+n)=(ab)+(nn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный ab. Аналогично др. св-ва. б) xnyn=(а+n)(b+n)=ab+nb+an+nn nb – это произведение const на б/м аn0, nn0, как произведение б/м. => поэтому в правой части стоит сумма числа аb+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xnyn сводится к ab. Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…; неубывающей, если x1x2…xnxn+1…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1x2…xnxn+1… Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными. Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху. Теорема «О сходимости монотон. посл-ти» Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы. Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xnsupX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xnx*  n.   >0 вып-ся нер-во  xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*- при  n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-xnx*+ при n>m эквивалентно xn-x*< при n>m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти. 8) Б.м.послед. Св-ва б.м.послед. Бесконечно малая последовательность. Последовательность a_nпредел которой равен нулю_n=0, , называется бесконечно малой. Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства. 1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность. 2. Бесконечно малая последовательность ограничена. 3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность. 4. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/xn}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn} – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn} есть бесконечно большая последовательность.

9) Бесконечно большие последовательности. Связь б.б.и б.м. { x_n }называется бесконечно большой, если для любого положительного числа ε, как бы велико оно не было, можно указать натуральное число N такое, что при всех n>N выполняется неравенство | x_n | > ε.

Если последовательность { x_n } является бесконечно большой, то говорят, что она имеет бесконечный предел, и пишут _n=∞. Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера положительны, то говорят также, что последовательность имеет бесконечный предел положительного знака и пишут lim x_n =+∞. Отр. аналогично. 10) Арифметические операции над сходящимися последовательностями. 1) lim пост, есть сама постоянная {x_n}=c, Ix_n-cI=o<ε=> _n=c. Предел пост.сама пост. 2) предел суммы числ. Последовательности равна сумме приделов числ.послед. 3) предел произведения числ.послед.=произведению пределов этих последовательностей. 4)предел отношений чисел послед=отношению пределов, при условии, что знаменатель не равен 0. 11) Монотонные последовательности. Критерий Вейерштрасса сходимости монотонных послед. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая. 2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая. 3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая. 4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными. Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная, {xn} = n – возрастающая и неограниченная. Критерий. Всякая монотонная ограниченная пос-ть, имеет предел, причем _n=sup{x_n}. Если посл-ть явл.неубывающей, _n=inf{x_n} предел явл.возраст.

12. Число e. Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е2,7128…Последовательность( n→1+1/n)ⁿ ,n∈N имеет конечный предел, называемый числом е: ⁿ=e=2,718281…..

13) Теорема о стягивающейся системе отрезков.Пусть даны монотонно возраст.послед-ть {x_n}и монотонно убыв.посл-ть {y_n}. {x_n}; x_n≥x₁. {y_n}; y_n≤y. x_n<y_n. y_n-x_n→0 n→∞,

=>∃_n=_n=C. Если y_n-x_n→0 n→∞, то обе пос-ти имеют предел и этот предел то же _n=_n.