Глава 2. Парные корреляции и регрессии

2.1 Теоретические основы

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:

где у - зависимая переменная (результативный признак);

х - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессии:

Нелинейные регрессии делятся на два класса (Рис. 1.1): регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней:

• равносторонняя гипербола у = а +

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная ;

• показательная y = ;

• экспоненциальная у =

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е.

(1)

Рис. 1.1. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя переменными.

Последний график неверен!

Основное свойство МНК: из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.

Для линейных уравнений регрессии вида из условия (1) получается следующая система нормальных уравнений относительно а и b:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции r_ху для линейной регрессии (-1 ≤ r_ху ≤ 1):

r_ху =

и индекс корреляции-для нелинейной регрессии (0 ≤ р_ху ≤ 1):

=.

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений - не более 8 - 10%.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора на 1% от своего среднего значения:

=f '(х)

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

Таблица 1.

Формулы расчета средних коэффициентов для наиболее часто встречающихся уравнений регрессий

Вид функции,	Первая производная,	Средний коэффициент эластичности,	Линеаризация
1	2	3	4
			-
			Х1=х, Х2=х2
			Х=1/х,Y=y
			Х=lnх,Y=lny
			Х=х,Y=lny
			Х=lnх,Y=y
			Х=х,Y=lny
			Х=х,Y=1/y

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

,

где - общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

- остаточная сумма квадратов отклонений.

_{Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии резул}ьтативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-mecm - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного)значенийF-критерия Фишера. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

,

где п - число единиц совокупности;

т - число параметров при переменных х.

- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл < Fфакт, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Но о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - t_та6л и t_факт - принимаем или отвергаем гипотезу Н₀.

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

Если t_та6л < t_факт то H₀ отклоняется, т.е. а, b и r_ху не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t_та6л > t_факт, то гипотеза H₀ не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b или r_ху.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

_{Прогнозное значение ур} определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значениях_р. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

=,

где

и строится доверительный интервал прогноза:

где