Круглов А.Б.Харитонов В.С.Радовский И.С. Руководство по технической термодинамике с примерами и задачами

при низком давлении пар можно считать идеальным газом и пре-

П.4.3. Поскольку фазовый переход осуществляется при постоянном давлении, то теплота фазового перехода r равна разности энтальпий пара и воды r = h" – h'. На линии насыщения имеем

ddTr = dTh′′ − dTh′ .

Поскольку dh = Tds + vdp и Tds = cdT, то вдоль линии насыщения (dr/dT) = c" – c' + (v" – v')(dp/dT). Используя соотношение Максвелла, для теплоемкости на линии насыщения можно получить:

(dr / dT) =c′p′ −c′p . Теплоемкость жидкости обычно выше, чем теп-

лоемкость пара, поэтому теплота испарения убывает с ростом температуры.

П.4.4. Используя уравнение Клайперона−Клаузиуса, получим

(dp/dT)пл = −13,4 МПа/K.

П.4.5. Работа кругового процесса равна площади цикла в координатах p, v или T, s. Для элементарного цикла из условия задачи имеем (v′′ −v′)dp = (s′′ − s′)dT . Отсюда дифференциальное уравнение для линии насыщения:

141

где индексы «′» «′′» обозначают жидкость и пар соответственно на линии насыщения.

П.4.6. а) Уравнение спинодали в параметрической форме (с обобщенным объемом в качестве параметра):

б) Согласно второму началу термодинамики работа изотермического кругового процесса abodea равна нулю (см. рис. к задаче) и, следовательно,

π(ω2 − ω1) = ω∫2 3ω8τ−1 − ω32 dω

ω1

С другой стороны, для точек a и e (жидкость и пар на линии насыщения) имеем:

Из уравнений (П.4.1) и (П.4.2), исключая π и τ, получим трансцендентное отношение между объемами жидкости ω1 и насыщенного пара ω2:

Далее определим давление и температуру на линии насыщения:

П.4.7. Для кругового процесса в окрестности тройной точки (рис. П.4.1) имеем:

142

П.4.8. Подставив численные значения соответствующих параметров в уравнение Клайперона–Клаузиуса, можно получить при Тпл = 273 К (dp/dT)пл = −13,4 МПа/К. Таким образом, с увеличением давления температура плавления льда понижается.

П.4.9. Уравнение связи перегрева поверхности T = Tc − Tн от-

носительно температуры насыщения с критическим радиусом парового зародыша а имеет вид

T = 2σTНv′′ . ar

При низких давлениях пар можно считать идеальным газом,

П.4.10. При длительном кипении жидкости происходит «истощение» крупных центров, поверхность обедняется центрами парообразования. В действие включаются так называемые «потенциально активные центры» с меньшими характерными размерами, вследствие чего перегрев поверхности увеличивается.

П.4.11. Основное уравнение термодинамики в приложении к магнетику TdS =dU − HdB преобразуем к виду для потенциала F

(свободная энергия) в координатах Т, В: dF =−SdT + HdB .

143

Отсюда, используя свойство потенциала H =∂F /∂B , для критического поля получим

Hкр = FnB−крFs ,

поскольку в сверхпроводнике В = 0.

С другой стороны, S =−∂F /∂T и для разности энтропий в n и s

хода

2

rsn =T(Sn − Sp) = μ0H02 2TT2 (1−T 2 / Tкр2 ).

кр

П.4.12. Поскольку объем жидкости остается постоянным при растяжении поверхности, то дифференциал свободной энергии равен dF = −SdT + σdΩ. Отсюда, используя свойства потенциала, получим

∂∂ΩS = − ddTσ ,

и теплота изотермического увеличения поверхности lΩ = T ∂∂ΩS = −T ddTσ > 0 ,

поскольку поверхностное натяжение σ убывает с ростом температуры.

5. Термодинамика потока

П.5.1. а) Умножая уравнение сохранения импульса на скорость, получим уравнение сохранения механической энергии:

144

тив сил трения (в единицу времени и на единицу массы).

В уравнении (П.5.2) перейдем от дифференциала к полной производной:

где q′ = q + qтр – полная теплота, подводимая к 1 кг газа в единицу

времени от внешнего источника и вследствие трения. Исключая из полученных уравнений слагаемые, содержащие давление, получим

d h + w2 = q − l . dt 2

б) Без совершения полезной работы в адиабатическом потоке сохраняется сумма удельной энтальпии и кинетической энергии:

h + w2 / 2 = h0 = const ,

где h0 – энтальпия «торможения», т. е. энтальпия при давлении и температуре заторможенного потока (p0; T0; w = 0).

В случае идеального газа h0 − h = cp(T0 −T) , для адиабатиче-

ского процесса ρ = ρ0Θn (где Θ = T / T0 , n = cV / R) . Массовый расход газа определяется соотношением M = ρwΩ (где Ω – площадь поперечного сечения канала). Скорость потока

w = 2cpT0(1−Θ) .

145

П.5.2. T = 250 K. Термометр покажет температуру, близкую к начальной температуре.

П.5.3. В системе координат, связанной с самолетом, торможение набегающего потока воздуха описывается уравнением энергии

h + w2 /2 = h0 . Считая воздух идеальным газом, для которого

звука.

Для воздуха k = 1,40. При M = 1 увеличение относительной температуры при торможении равно

T0/T = 1,2.

П.5.4. pн = 4,0 МПа; T = 250 °С.

П.5.5. а) Из основного уравнения термодинамики следует, что (∂T / ∂p)h = −(λp + v) / cp . С помощью соотношений Максвелла можно показать, что λp = −T(∂v / ∂T) p . Отсюда для коэффициента Джоуля−Томсона получается выражение:

б) Для идеального газа αp = 1/T и, следовательно, j = 0.

в) Используя для нахождения производной (∂v/∂T)p уравнение Ван-дер-Ваальса, получим необходимое выражение для j.

г) p j = 2a / (bv j) − 3a / v2j .

д) Используя условие экстремума (∂pj/∂vj)0 = 0, получим v0j = 3b = vкр; p0j = a/(3b2) = 9pкр; T0j = 8a/(9bR) = 3Tкр.

П.5.6.Если кинетическая энергия струи воды, истекающей из щели, мала по сравнению с ее энтальпией, то процесс адиабатиче-

146

ского дросселирования (без совершения полезной работы) можно считать изоэнтальпическим, h = const:

u1 + p1v1 = u2 + p2v2 .

Если v1 v2, то u2 − u1 = (p1 − p2)v1 > 0 , и внутренняя энергия воды при дросселировании увеличивается. Повышение температуры воды составляет величину

6.Термодинамический анализ процессов преобразования энергии

П.6.1. Указание. Представить произвольный цикл в виде совокупности элементарных циклов Карно; воспользоваться теоремой Карно, представив доказываемое соотношение в виде

Q = qVV = KV (TЯ − Т1) .

П.6.2. Максимальная работа совершается в обратимом процессе. Единственно возможный обратимый процесс, исключающий теплообмен газа с окружающей средой при конечной разности температур, состоит из адиабатического участка 1→2′ и изотермы 2′→2

П.6.3. В изобарическом процессе 3–4–1 (см. рис. 6.25 к задаче) к 1 кг рабочего тела подводится теплота q1 = h1 – h3 = cp(T1 – T2) + r1

147

(r1 – теплота испарения при температуре T1). Изменение энтропии при этом равно

Работа в адиабатическом процессе расширения пара в турбине

1–2 равна l = h1 – h2 = cp(T1 – T2) + r1 – x2r2 (r2 – удельная теплота испарения при температуре Т2; x2 – массовое паросодержание на

выходе из турбины в точке 2. Энтропия в точке 2 равна

П.6.4. а) Полный дифференциал энергии Гиббса открытой системы, совершающей внешнюю электрическую работу εdQe, равен:

dФ = − SdT + Vdp − εdQe .

При постоянном давлении и постоянной температуре отсюда следует, что эдс топливного элемента определяется выражением

ε = − dФ , dQe

где dQe – элементарный электрический заряд, прошедший через внешнюю цепь. В водородно-кислородном топливном элементе в

148

П.6.7. Согласно первому началу ТД работа кругового процесса (на 1 кг) равна l = v∫dq = q1 − q1 . К 1 кг рабочего тела подводится

теплота q1 = h1 − h3 = c′p T + r1 ( T = T1 −T2 , r1 – теплота испарения при температуре Т1) в парогенераторе и отводится теплота q2 = h2 − h3 = r2x2 в конденсаторе. Сухость пара в конце процесса

расширения для обратимого процесса определим из условия изоэнтропичности:

скольку v′′ >>v′, то влага в турбине практически работы не производит.

П.6.8. Для изобарического процесса в проточной системе первое начало имеет вид dQ = Gdh , где G – массовый расход теплоносителя; h – удельная энтальпия. В однофазной области течения

150