Переходные процессы в дискретных системах.

Возможны 2 пути расчета переходных характеристик:

1. Переходные характеристики находятся как решения разностного уравнения, при входном процессе x[n]=1[n], где 1[n] – единичная функция.

2. Переходная характеристика находится как оригинал от изображения переходной характеристики:

Найдем изображение единичной функции 1[n]:

Переход к оригиналу можно осуществить так же как для непрерывных систем, а можно воспользоваться и разложением в ряд по степеням z^-1 (ряд Лорана).

По этому разложению можно записать переходную характеристику, если учесть Z-преобразование от переходной характеристики.

Определим связь вида переходной характеристики с положением корней характеристического уравнения.

Пусть существует единственный корень:

1. 0<z₁<1

В данном случае переходная характеристика монотонна и с увеличением z₁ будет медленнее стремиться к единице.

2. -1< z1 <0

В данном случае переходная характеристика – колебания с периодом колебаний равным двум интервалам дискретизации. Чем ближе z1 к -1, тем больше амплитуда колебаний и медленнее затухания на вершине переходного процесса.

3. z₁ = 0

Получается переходная характеристика конечной длительности, если нулевых корней l, то длительность переходного процесса l∙T.

Рассмотрим переходную характеристику для двух комплексно-сопряженных корней.

В данном случае переходная характеристика колебания, с периодом колебаний зависящим от аргумента корня и амплитудой колебаний зависящей от модуля контура.

Период колебаний определяется из условия:

Ошибки в дискретных системах.

Изображение ошибки:

Динамическая ошибка при полиномиальном воздействии.

Для перехода к оригиналу необходимо разложить передаточную функцию ошибки в ряд по операторам разности.

Дискретные системы в зависимости от значения коэффициентов подразделяются, так же как и непрерывные, на статические и астатические.

1. Статическая ошибка.

_{аналогична непрерывной.}

2. Скоростная ошибка.

3. Ошибка по ускорению.

4. Ошибка по возмущению.

Корреляционная функция ошибки:

Дисперсия ошибки по возмущению:

Предположим, что возмущающее воздействие является белым шумом, тогда:

Коэффициент изменения дисперсии:

Дискретная система будет обладать свойствами сглаживания (уменьшения случайной ошибки единичных измерений), если значение импульсной характеристики g[i]<<1.

Связь с переходной характеристикой:

Так как импульсная характеристика равна разности переходной характеристики, то требование g[i]<<1 эквивалентно требованию малых приращений переходной характеристики за интервал дискретизации и, следовательно, большой длительности переходной характеристики.

Дискретная модель импульсной системы.

Выходной процесс импульсного элемента представляет собой последовательность импульсов:

Теория дискретных систем хорошо разработана для АИМ - II рода, когда импульсы имеют неизменную форму, а в зависимости от входного сигнала меняется только их амплитуда.

В данном случае импульсный элемент можно заменить идеальным δ-импульсным элементом и формирующим фильтром.

Переходная характеристика фильтра определяется как преобразование Лапласа от формы импульса:

Передаточная функция приведенной непрерывной части определяется как:

Конечная модель:

Для получения дискретной модели перейдем к решетчатым функциям. Непрерывные процессы описываются смещенными решетчатыми функциями.

Рассмотрим, как описать операцию дискретизации.

Считается, что при дискретизации выходная величина принимает значение равное значению входной величины слева от момента дискретизации.

Перенесем в модели операцию дискретизации за вычитающее устройство:

Входным и выходным процессами приведенной непрерывной части являются решетчатые функции, поэтому вместо обычной передаточной функции К(q) следует пользоваться дискретной передаточной функцией К(z,ε), где К(z,ε)=Z{ К(q)} и находится по таблицам Z-преобразований.

Найдем передаточную функцию замкнутой системы:

По модели: