Контрольные вопросы:

1. Когда возникает необходимость статистического описания в классической физике и физике микромира?

В классической физике необходимость статистического описания возникает, когда разброс экспериментальных результатов оказывается настолько несущественным, что его можно не принимать в расчёт. Например, это относится к механическому поведению макроскопических объектов или к процессам, протекающим в электрических цепях.

В физике микромира необходимость статистического описания возникает, когда невозможно точно измерить какой-либо параметр микрообъекта (энергию, импульс, координату). Например, в экспериментах по рассеянию частиц невозможно точно предсказать, в каком направлении рассеется данная частица — можно лишь говорить о вероятности рассеяния в том или ином направлении.

2. Два типа случайных величин.

Дискретные. Принимают отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Примеры: число попаданий или промахов в серии выстрелов, число выпаданий герба или решки при подбрасывании монеты. 

Непрерывные. Множество их возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток. Примеры: отклонение размера детали от номинального, ресурс (время безотказной работы) системы, физические параметры системы (температура, давление, влажность).

3. Дайте понятия: "Выборка","Генеральная совокупность","Дисперсия","Среднеквадратичное отклонение","Закон распределения","Условие нормировки" для случая дискретной случайной величины.

Выборкой для дискретной случайной величины называют последовательность значений, полученных в результате наблюдения некоторого процесса.  Её можно рассматривать двояко: как случайный вектор длины n, каждая компонента которого имеет такое же распределение, как и наблюдаемый признак, или как результаты измерений, то есть набор n чисел. 

Генеральная совокупность для дискретной случайной величины — это совокупность всех возможных значений случайной величины.

Дисперсия случайной величины — это мера разброса её значений относительно её математического ожидания. 

Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около математического ожидания: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга

Среднеквадратичное отклонение случайной величины — статистическая характеристика, показывающая среднюю степень разброса значений величины относительно её математического ожидания. 

Закон распределения дискретной случайной величины — это правило, по которому каждому возможному значению ставится в соответствие вероятность, с которой случайная величина может принять это значение.

Условие нормировки для дискретной случайной величины заключается в том, что сумма вероятностей полной группы событий равна единице.

4. Записать распределение Пуассона. Пояснить входящие в него величины, привести насколько примеров случайных величин, распределенных по законы Пуассона.

Если вероятность осуществления события в интервале δx (пространства, времени и т.п.) равна λδx, где λ - постоянная величина, то вероятность того, что в конечном интервале x событие произойдет независимым образом k раз, дается распределением Пуассона

где K=λx - среднее число событий в интервале x. Среднее число событий равно K, а среднее квадратичное отклонение равно .

Оценкой параметра λ служит величина k/x со средним квадратичным отклонением .

При малом p (p≤0.1) распределение Пуассона можно использовать в качестве приближения для биноминального распределения, причем K=np.

5. Что такое распределение нормальное (Гауссово)?

Параметрами нормального распределения являются среднее значение μ и среднеквадратичное отклонение σ.

Это распределение играет фундаментальную роль в теории ошибок, поскольку: 1) оно описывает распределение ошибок, обусловленных множеством малых независимых вкладов, носящих случайный характер; 2) многие функции случайных величин (такие, например, как среднее, среднеквадратичное отклонение и т.п.) распределены асимптотически нормально даже в тех случаях, когда исходная величина не следует нормальному закону.

6. Опишите условия, при которых возникают эти распределения.(Биномиальное распределение)

Биноминальное распределение возникает при условии, что производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие появляется с вероятностью p. 

7. Критерий Пирсона. Как формируется? Для чего применяется?

Для каждой ячейки таблицы нужно подсчитать квадрат разности между наблюдаемым и ожидаемым значением, разделить получившееся число на ожидаемое значение и сложить подсчитанные значения. Получится число, которое называется статистикой критерия хи-квадрат. Чем больше это число, тем сильнее отличия между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями — и тем вероятнее, что между факторами действительно есть связь.

Критерий Пирсона применяется для определения наличия или отсутствия связи между двумя категориальными переменными — такими, которые могут принимать ограниченное количество уникальных значений.

8. Чему равна дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона?

Дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона, равна параметру этого закона.

9. В каком случае имеет χ2 распределение?

Если величина распределена по нормальному закону

с нулевым средним и единичной дисперсией, то сумма

распределение по закону Пирсона или χ 2 – распределение

Это распределение обычно используется при проверке гипотез о виде закона распределения.

10. По каким соображениям в случае верности исходной гипотезы для величины U в (8.17) следует ожидать распределения (8.15)?

При достаточно большом объёме выборки распределение случайной величины хи-квадрат близко к распределению хи-квадрат с количеством степеней свободы, равным количеству оцениваемых параметров закона.

11. Выбор гипотезы при аппроксимации экспериментальных результатов

Для построения эмпирических зависимостей используются методы корреляционного и регрессионного анализа. Они основаны на принципах статистического анализа, поэтому неотъемлемой частью построения аппроксимирующих функций являются доказательства статистических гипотез о значимости коэффициентов полученных уравнений, а также проверка на адекватность.

12. Почему следует ожидать больших значений U, если исходная гипотеза не верна?

Значение статистики критерия измеряет, насколько данные согласуются с гипотезой. Маленькие значения статистики критерия указывают, что данные «ведут себя» в соответствии с гипотезой, и в этом случае гипотеза не отвергается. Если получились большие значения статистики критерия, данные не соответствуют гипотезе, противоречат ей, и гипотеза отвергается. 

Например, в случае критерия хи-квадрат Пирсона, если частоты действительно соответствуют ожидаемым, то значение статистики хи-квадрат будет относительно небольшим (отклонения находятся близко к нулю). Большое значение статистики свидетельствует в пользу существенных различий между частотами.