17. Существенно особая точка аналитической функции. Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки. Теорема Сохоцкого - Вейерштрасса.

Пусть точка z₀ является изолированной особой точкой функции f(z). Тогда по теореме Лорана из §1 функцию f(z) можно разложить в ряд Лорана в кольце , : f(z) = (8)

Определение. Изолированная особая точка z₀ называется существенно особой точкой функции f(z), если в разложении (8) для натурального числа N существует номер . Другими словами, множество ненулевых коэффициентов a_k при отрицательных степенях K выражения в разложении (8) бесконечно.

Теорема Сохоцкого – Вейерштрасса. Пусть z₀ – существенно особая точка функции f(z). Тогда комплексного числа с такая, что . Таким образом, любое комплексное число является либо значением функции f(z), либо предельной точкой множества значений функции f(z) в произвольной окрестности существенно особой точки.

Доказательство

Предположим противное. Пусть комплексное число с такое, что Введем функцию . Тогда ; Кроме того по условию функция f(z) аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки z₀. Обозначим ее . Тогда и функция аналитическая функция в этой проколотой окрестности Следовательно, учитывая ограниченность функции имеем: точка z₀ устранимая особая точка функции . Поэтому из теоремы (1⁰ (устранимая особая точка (15))) следует, что: где . Обозначим через Тогда функция как сумма степенного ряда, сходящегося в круге аналитическая функция в круге , причем Тогда функция также аналитическая функция в некотором круге Возвращаясь к функции f(z), получим :

( (Можно считать, что ) функция, стоящая в числителе последнего равенства:

Поэтому из пунктов (1⁰) и (2⁰) вытекает, что точка z₀ является либо полюсом порядка m для функции f(z) (при m> 0), либо устранимой особой точкой для функции f(z) (при m = 0). Следовательно, получено противоречие. (чтд)

Теорема. Изолированная особая точка является существенно особой точкой аналитической функции f(z), тогда и только тогда, когда не существует ни конечного, ни бесконечного предела

Доказательство

Необходимость. Пусть z₀ существенно особая точка f(z). Тогда из теоремы Сохоцкого-Вейерштрасса следует, что (В частности, можно указать две последовательности точек : ( ;

( . Но ( , ( , где - два комплексных числа. (чтд)

Достаточность. Пусть изолированная особая точка . Тогда из пунктов (1⁰) и (2⁰) следует, что точка z₀ не может быть ни устранимой особой точкой, ни полюсом для функции . Таким образом, остается последняя возможность: точка – существенно особая точка для функции (чтд)

Если точка существенно особая точка для функции , то имеет место более сильное утверждение, чем теорема Сохоцкого-Вейерштрасса. А именно справедлива:

Теорема Пикара. В любой сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция принимает бесконечное число раз любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного.

Пример точка – существенно особая точка для . В самом деле, разложение в ряд Лорана в проколотой окрестности точки имеет вид:

Отсюда и следует, что – существенно особая точка для , так как множество ненулевых коэффициентов при отрицательных степенях k разностей в ряде Лорана бесконечно.