3.1.2. Методы уточнения корней нелинейных уравнений

Одним из методов уточнения корня на отрезке является метод половинного деления (метод дихотомии).

Метод половинного деления. Для уточнения корня нелинейного уравнения (3.1) на отрезке , где , а производная сохраняет знак, разделим отрезок  пополам и исследуем знак функции в полученной точке , где . Из двух отрезков  и  выберем тот, на котором функция меняет знак.     

Уменьшая новый отрезок в два раза, повторяем процесс и т. д. Получим последовательность вложенных отрезков

на концах которых выполняется неравенство ,

где                                          .                                        (3.2)

Последовательность  является монотонной неубывающей ограниченной последовательностью, а последовательность  − монотонной невозрастающей ограниченной последовательностью. Значит, существует предел

.

Тогда .

Оценку погрешности решения на -м шаге вычислений можно получить из соотношения (3.2) в виде

                                      (3.3)

Здесь  с точностью  не превышающей .

Пример. Методом половинного деления с точностью  найдём корень уравнения  при  

Решение. Выше, при отделении корней табличным способом, было установлено, что искомый корень  принадлежит отрезку . На каждом шаге вычислений значение корня принимаем равным

С погрешностью

Будем производить вычисления и выбирать последовательность вложенных отрезков  используя условие .

Шаг 1.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 2.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 3.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 4.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 5.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 6.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 7.  

Так как  и  то полагаем

Таким образом, заданная точность достигается на седьмом шаге метода половинного деления, поэтому приближённым значением корня с точностью  будем считать число

Кроме метода дихотомии для уточнения корня на отрезке  применяются итерационные методы.

Метод простых итераций. Пусть известно, что нелинейное урав­нение  имеет на отрезке  единственный действительный корень . Требуется найти этот корень приближённо с заданной точностью . Применяя тождественные преобразования, приведём уравнение к виду

                                                         (3.4)

Выберем произвольно приближённое значение корня  и вычислим . Найденное значение  подставим в правую часть равенства (3.4) и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность

.

Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения (3.4). В самом деле, пусть

.

Тогда, переходя к пределу в равенстве

и учитывая непрерывность функции  на отрезке , получим

или                                                   .

Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле

                                            (3.5)

Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть функция  определена и дифференцируема на отрезке , причём все её значения , и выполняется условие

Тогда процесс итераций (3.5) сходится независимо от начального значения  и предельное значение  является единственным корнем уравнения (3.4) на отрезке . Точка  определённая теоремой 3.4, называется неподвижной точкой для уравнения (3.4). Приведём геометрическую интерпретацию метода простых итераций. Для этого построим графики двух функций  и  в одной системе координат. Абсцисса точки пересечения графиков – корень . Построим итерационный процесс. Зададим  и вычислим  – первое приближение и  – второе приближение. В первом случае (рис. 3.5) процесс – сходящийся (). Во втором случае (рис. 3.6) процесс – расходящийся (). Рассмотрим условия, при которых переход от уравнения (3.1) к эквивалентному виду (3.4) будет сопровождаться сходимостью итерационного процесса (3.5). Выполнение условия сходимости можно добиться с помощью перехода от исходного уравнения  к эквивалентному виду  следующим образом: умножим обе части уравнения (3.1) на , затем прибавим к обеим частям , тогда . Обозначим                          , тогда                                                .

Константа  выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса (3.5), т. е.

.

Это условие равносильно неравенствам

,