razdel3UMK

3

+

1

8) lim (tg x − sec x);

7) lim

x

;

π

x→1 1 − x3

−1

x→2

3

(

− 2);

9) lim

x +

x +

x −

3

3

2

x ;

10) lim x

x

+

2 −

x

x→∞

11) lim (sin

x );

x→∞

x 2 +1 − x);

x +1 −sin

12)

lim x(

x→∞

( (x + a)(x + b)− x);

x→±∞

13) lim

14) lim x ctg(π x) ;

x→±∞

1

x→0

π

x

−α

15) lim

16) lim tg

x

sin

;

−ctgx ;

2α

2

x→0

sin x

x→α

17) lim

π

tgx ;

18)

lim

x arcctgx ;

2

− x

x→π

x→+∞

2

π

19) lim

20) lim sin 2x ctgx ;

x

2

+ arctgx ;

x→−∞

x→π

1

1 + x ;

1

21) lim

22) lim x

a x −1 ;

x→0 x

1 − x

x→∞

23) lim x 2

1

1 −cos

x

.

x→∞

1) lim

arcsin 3x

;

2) lim

sin 2(x −1)

;

arctg 6x

x→0

x→1

x2 −1

3) lim

sin x

;

4) lim

ln x −1

;

x→π x − π

x→e

x − e

5) lim

ex − e−x

6) lim

esin 2x − esin x

;

;

sin x

x

x→0

x→0

7) lim

ex −cosx

;

8) lim

3 8 +3x

− 2

)

sin3x

2

x→0

x→0 4 16 +5x −

9) lim

e2x −1

;

10) lim

ln cos x

;

x→0 ln(1 − 4x)

x→0 ln(1 + x 2 )

11) lim

5 (1 + x)3 −1

;

12) lim

ln(2x

2 +3x −

26)

;

x

2

−7x +12

x→0 (1 + x)3 (1+ x)2 −1

x→3

13) lim

4x 2 −1

;

14) lim

1

−cos 4x

;

x→

1

arcsin(1 − 2x)

x→0 2sin 2 x + x tg7x

2

15) lim

ln cos x

;

16) lim

arctg(2x 2 +3x −5).

x→0

x 2

x→1

x 2 +5x −6

2) y = 3

3) y = cos x

4) y = a x

5) y = loga x

6) y = arcsinx

x

7) y = arccosx

8) y = arctgx

9) y = arcctgx

3.2.22.

Найти точки разрыва функций и построить схематично их

график.

1) y =

4

2) y = x +

x + 2

;

;

x + 2

x2 − 2x +1

2

x −1

1

3) y =

;

4) y =

2

x−2

−1

;

x2 − x3

1

2 x−2 +1

5) y =

sin x

;

6) y = arctg

1

;

x − 4

x

7) y = lg(x2 + 3x);

8) y =

1

;

sin πx

1

2

x

при 0 ≤ x ≤ 1

9) y =

;

10) f(x) = 4 − 2x

при 1 < x < 2,5

2

1 +

3

x−1

− 7

при 2,5 ≤ x < +∞

2x

11) f (x)= [x]

f (x)=

sin x

, еслиx ≠ 0

12)

x

и

f (0)

=1

13) f (x)=

x −[ x ]

f (x)=

sin x

, еслиx ≠ 0

14)

x

и

f (0)=1

1

f (x)=

1

, еслиx ≠1

1

15) f (x)= sin x , еслиx ≠ 0

16)

1 + e x−1

и f (0)= произвольное

и

f (1)= произвольные

1

1

17) f (x)= x sin

, еслиx ≠ 0

18) f (x)= e−

, еслиx ≠ 0

x2

x

и f (0)= 0

и f (0)= 0

f (x)= x ln x 2 , еслиx ≠ 0

2x + 5

при − ∞ < x < −1

19)

20) f(x) =

и

f

(0)= a

1

при

−1 ≤ x < +∞

x

ОТВЕТЫ

1)[4; + ∞)

2) (0;1] 3)[−9; −5]

4) (− ∞; 4)U(4; ∞)

1

1

[2; ∞)

3.2.1.

5) −

;

6)

2

2

7)[2; ∞) 8) −

1

;

1

9)[e−4 ; ∞)10){−1;1}

2

2

3.2.2.

1)четная

2)нечетная 3)общего вида

4)нечетная

5)общего

вида

6)четная 7)четная 8)общего вида 9)нечетная10)общего вида

3.2.3.

1) = −8 π

2)не явл. периодической

3) T = π

4) T = 4 π

5) T = π 3

2

6) T = π 7) T = π 8)периодическая, наименьшего положительного периода нет

9) T = 2 π10)непериодическая

3.2.5. 1) y =

x −5

2) y = 3

3)нет обратной 4) y =

2

5) y =

x

x + 2

1 − x

x +1

3

3.2.10.

1) xn =

1

; 2) xn = 2(−1)n

; 3) xn

=

n −1

; 4) xn = n2 +1;

n!

2n

n

8) xn = n cos π(n −1);

5) xn = (−1)n n ;

6) xn =

;

7) xn =1+(−1)n ;

2n −1

π(n −1)

2

2

n 2n +1

n n

(−1)n

9) xn = (−1)

;10) xn = sin

;11) xn

= (−1)

;12) xn = n

;1

2n −1

4

2n

3) x

=

2n −

1 2

=

n

+

(

−1)

n

n

;14) x

n

3

.

n

3.2.11.

1)0;

2)

1

;

3)

9

;

4) −

3

;

5)

3

;

6) − 2;

7)10;

8)

m

;

9)3x 2 ;10) 6;11)

16

5

2

2

n

1

m

3 6

2

1

1

1

3

2

;12)

2

;13)

;14)

;15)

;16) 3;17) −

;18)

;19)

;20)

.

6

2

n

2

2a

4

2

5

5

1

3

3

30

∞;

2

8) 1 , если x → +∞

3.2.161)

;

2)

3) 0;

4) –1;

5)

;

6)

;

7)

;

5

5

3

2

;

-1

,

если

x → −∞;

9)

1;10)

1

;11)

ln 5;12)

ln

8

÷ln

6

;13)

2

5

7

3.2.17. 1)

3

;

2)

1

; 3)

25

;

4)

m

;

5) −

2

;

6)

1

; 7)

25

; 8)

1

; 9)

8

2

4

2

2

4

n

9

2;10)

1

;11) cos a ;12)

− 24;13)

−

cos 2a

(a ≠ (2k +1)

π

, k Z);14)

1

;15)

p

2

4

cos4 a

−

sisa

(a ≠ (2k +1)

π

, k Z);16)

−

1

;17)

0;18)

2

;19)

1

;20)

cos2 a

2

2

3

3

12

cos3 a ;21)