Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel3UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Решение. Так как lim(x +1) = 0 (докажите это самостоятельно), то со-
	x→−1
гласно определению 2.10,		функция (x +1) бесконечно малая при					x → −1, а
	1		(x ≠ −1)		1
так как функция sin				ограничена sin		≤ 1 ,	то данная
так как функция sin	x +	1		ограничена sin	x +1	≤ 1 ,	то данная
	x +	1			x +1

функция f(x) представляет собой произведение бесконечно малой функции на ограниченную. По предыдущей теореме это означает, что f(x)− бесконечно

малая функция при x → −1.

Понятие бесконечно большой и бесконечно малой функций тесно связа-

ны между собой. А именно имеет место следующая теорема:
Теорема 2.2.	1) Функция, обратная бесконечно большой при x → x0 ,
есть бесконечно малая, т.е. если		lim f(x) = ∞, то			lim	1	= 0 .
есть бесконечно малая, т.е. если		lim f(x) = ∞, то			lim	f (x)	= 0 .
		x→x0		x→x0		f (x)
2) Функция,	обратная бесконечно малой при				x → x0 ,		есть бесконечно
большая, т.е. если	lim f(x) = 0, то lim		1	= ∞.
большая, т.е. если	lim f(x) = 0, то lim		f (x)	= ∞.
x→x0		x→x0	f (x)
Данные утверждения остаются в силе и при x → ∞.

2.7.5. Вычисление пределов функций

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоре-

мах.

lim f(x) и

lim g(x), то:

Теоремы 2.3.-2.6. Если существуют пределы

x→x0

lim [f (x)± g(x)]= lim f (x)± lim g(x).

x→x0

f(x)

g(x) =

→x0

x→x0

lim

lim f(x) lim g(x).

x→x0

[

C f(x)

]

x→x0

lim

= C lim f(x), C R.

x→x0

[

]

x→x0

f(x)

lim f(x)

x→x0

lim

при

x→x0

g(x)

lim g(x)

x→x0

Замечание 1.

Теоремы верны также и в случае, когда x0 является одним

из символов ∞, + ∞ или − ∞.

Замечание 2. Если функция является элементарной и предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента.

Замечание 3. Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

ПРИМЕР 2.38.		x→1(			+ 4	)	.
		Найти lim 5x2 + 6x
Решение. lim 5x		2 + 6x + 4	)	= lim5x2 + lim 6x + lim 4 =
	x→1(			x→1	x→1			x→1
= 5lim x lim x + 6lim x + 4 = 5 1 1 + 6 1 + 4 = 15.
x→1 x→1	x→1

Из решения данного примера видно, что нахождение предела этой функции свелось к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Сказанное остается справедливым и в более общем случае. Если рассмот-

реть целую

рациональную функцию

(многочлен)

вида

(x)

= a

xn +

+ a1xn−1 + a 2 xn−2 +K+a n , (a 0 ≠ 0),

то ее предел при x → x0

равен значе-

нию многочлена в этой точке, т.е.

lim Pn (x) = Pn (x0 ). (Рекомендуем показать

это самостоятельно).

x→x0

Пользуясь этим свойством, легко убедиться, что предел всякой дробно-

рациональной функции

Pn (x)

при x → x0

равен

Pn (x0 )

, если только зна-

Qm (x0 )

Qm (x)

Pn (x0 )

менатель не

обращается в нуль

при

x → x0 ,

т.е.

lim

Pn (x)

(Qm (x0 ) ≠ 0), где Qm (x) = b0 xm + b1xm−1 +K+bm .

x→x0

Qm (x)

Qm (x0 )

ПРИМЕР 2.39. lim

4x3 − 3x +1

4 1 − 3 1 +1

5x4 − 3x

2 + 4

1 − 3 1 +

x→1

ПРИМЕР 2.40. lim

x2 − 4

− 4

= 0.

2x +1

2 +1

x→2

Будем говорить, что отношение двух функций

f(x)

есть неопределен-

g(x)

ность вида

или ∞ , если числитель и знаменатель дроби одновременно стре-

∞

мятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности - значит

f(x)

вычислить предел отношения g(x), если он существует, или установить, что он не существует.

2.7.5.1. Раскрытие неопределенностей вида						0
2.7.5.1. Раскрытие неопределенностей вида						0
	x2	+ 6x + 8				0
ПРИМЕР 2.41. Найти lim	x2	+ 6x + 8	.
ПРИМЕР 2.41. Найти lim		x3 + 8	.
x→−2		x3 + 8
Решение. Пределы числителя и знаменателя при x → −2 равны нулю.
Следовательно, имеем неопределенность вида				0	. Для раскрытия неопределен-
Следовательно, имеем неопределенность вида				0	. Для раскрытия неопределен-
				0

ности разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий

множитель x + 2 .

Имеем lim

+ 6x +8

= lim

(x + 2)(x + 4)

(

)

x→−2

x3 +8

x→−2

2 −

2) x

= lim

x + 4

− 2 + 4

x→−2 x2 − 2x + 4

(− 2)2 − 2 (− 2)+ 4

Здесь мы сократили на множитель x + 2 , который при x → −2 стремится к нулю. Однако из определения предела следует, что аргумент x стремится к своему предельному значению, никогда с ним не совпадая, поэтому x + 2 ≠ 0 и сокращение правомерно.

ПРИМЕР 2.42.

Найти предел lim

x2 +5x −14

4 + x −18

x→2

+ 7)

Решение.

lim

x 2 +5x −14

= lim

(x − 2)(x

x 4 + x −18

− 2)(x3 + 2x

4x +9)

x→2

= lim

x + 7

x→2 x3 + 2x2 +

4x + 9

33 11

Из рассмотренных двух примеров следует следующее правило:

Чтобы раскрыть неопределенность вида 00 при x → x0 функции, за-

данной в виде отношения двух многочленов, необходимо и в числителе и в знаменателе выделить множитель x − x0 и сократить дробь на него.

ПРИМЕР 2.43. Найти предел lim

sin2 x

sin 2 x

x→π1+cos3 x

Решение. lim

= lim

1−cos2 x

+ cos3 x

x→π1

x→π (1 + cos x)(1 −cos x + cos2

= lim

1− cosx

1− cosx + cos2 x

x→π

cos3x −cos x

ПРИМЕР 2.44. Найти предел lim

x→0

cos x −1

Решение. lim

cos3x −cos x

= lim − 2sin 2x sin x

cos x −1

x→0

→0

− 2sin

2 x

2sin x cos x 2sin

4sin x cos

cos x

= lim

cos

= lim

x→0

sin

x→0

sin

8sin

cos

cosx cos

= lim

= lim8cosx cos2

= 8.

x→0

sin

x→0

ПРИМЕР 2.45. Найти lim1 −

x +1 .

x→0

Решение. Для раскрытия неопределенности

избавимся от иррацио-

нальности

числителе

путем

умножения числителя

знаменателя

на

1+ x +1.

Получим

lim1−

x +1 = 0 = lim

(1−

x +1)(1+

x +1)

(

)

x +

x→0

x 1+

= lim

− x

= lim

−1

= −

1 .

x→0 x(1 + x +1)

x→0

1 + x +1

ПРИМЕР 2.46. Найти предел lim

1+ x −

1− x

x→0

Решение. lim

x→0

1+ x − 1− x

= lim

x( 1+ x +

1 − x)

= lim

1+ x +

1− x)

(

1+ x − 1− x)(

1+ x +

1− x)

x→0

(

1 + x +

1 − x

)

= 1.

= lim

ПРИМЕР 2.47. Найти lim

2 −

x→4 3 −

2x +1

(

Решение. Умножая числитель и знаменатель на произведение

2 +

)(

3 +

)

2 −

2x +1 , получим lim

x→4 3

−

2x +

= lim

− x)(2 + x)(3 + 2x +

= lim

(4 − x)(3 +

2x +1)

(

−

2x +

)(

2 +

)

(

2 +

)

x→4

2x +1

(9 − 2x −1)

= lim

3 +

2x +1

(

)

x→4

2 2 + x

∞

2.7.5.2. Раскрытие неопределенностей вида ∞

При вычислении пределов отношения двух многочленов при x → ∞ для

раскрытия неопределенности вида

∞

числитель и знаменатель дроби надо де-

∞

лить на x в старшей степени; величина дроби от этого не изменится.

ПРИМЕР 2.48. Найти lim

x2 + 2x + 3

− 3x + 5

x→∞ 2x2

∞

Решение. Имеем неопределенность вида ∞ . Разделив числитель и зна-

менатель дроби на x2 , получим

lim

1+ x + x2

lim

+ 2x + 3

= lim

x→∞

x→∞ 2x2 − 3x +5

x→∞

−

lim

−

x→∞

lim1+ lim

+ lim

+ 0 + 0

x→∞

x→∞ x

x→∞ x2

lim 2

− lim

+ lim

− 0 + 0

x→∞

x→∞ x

x→∞ x2

ПРИМЕР 2.49. Найти предел lim	−2x +	1
		+5
x→∞ 3x2 + 4x

− 2x

−

x 2

Решение. lim

= lim

2 + 4x

x→∞ 3x

x→∞

x 2

=		0 + 0		= 0 .
	3	+ 0 +	0

x3 + 4

ПРИМЕР 2.50. Найти предел lim 2

x→∞ x −3

4x5 + 2x

lim

x→∞

x8 +5x4 −4

x3 + 4

1 +

1+ 0

= ∞.

Решение.

lim

= lim

x→∞ x 2 −3

x→∞

0 −0

−

ПРИМЕР 2.51.

Найти предел дробно-рациональной функции

lim

a 0 x n + a1x n−1 +K+ a n

, a 0 ,b0 ≠ 0.

x→∞ b0 x m + b1x m−1 +K+ bm

Решение.

Имеем

+K+

a0 xn

+ a1xn−1 +K+a n

lim

= lim

x→∞ b

+ b

xm−1 +K+b

x→∞

+K+

n < m

n−m

= lim x

lim

, n = m .

x→∞

+K+

∞, n > m

0, если

n < m

При вычислении этого предела учтено, что lim xn−m = ∞, если n > m

x→∞

n = m

a n

1, если

a0 +

+K+

lim

. Следует также отметить,

что во всех приме-

x→∞

b0 +

+K+

x m

рах использованы свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

ПРИМЕР 2.52. Найти предел

x8 +

5x 4 − 4

−

x 4

Решение. lim

= lim

4x5

+ 2x

x→∞

x 4

x4 1 +

−

1 +

−

x4 1 +

−

= lim

lim

x→∞

x→∞ x

x→∞

4 +

= 0

= 0.

2.7.6. Первый замечательный предел

Функция

sin x

не определена при x = 0, так как числитель и знамена-

тель дроби обращаются в нуль. Найдем предел этой функции при x → 0. Теорема 2.7. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой

дуге, выраженной в радианах, равен единице, т.е.

lim sin x = 1

x→0 x

Данное равенство называют первым замечательным пределом. С помощью первого замечательного предела вычисляются многие другие пределы.

ПРИМЕР 2.53. Найти предел lim

tgx

x→0

Решение. lim

tgx

= lim

sinx

lim

=1.

x→0

x→0 x

x→0 cosx

ПРИМЕР 2.54. Найти предел lim sinkx

x→0

sin(kx)

Решение. lim

sinkx

= lim k

sinkx

= k lim

= k 1 = k

(kx)

x→0

(kx→0)

ПРИМЕР 2.55. Найти предел lim

1−cosx

x→0

Решение. lim

1−cosx

= lim

2sin

2 (x 2)

= lim

sin(x 2)

sin

x 2

x→0

= lim

sin(x 2)

limsin

=1 0 = 0

x→0

x 2

x→0

cos

πx

ПРИМЕР 2.56. Найти предел lim

1− x

x→1

πx

−

cos 2

1− x = t, x =1− t

cos

Решение.

lim

= lim

x→1 1− x

x →1 t → 0

t→0

= lim

sin

2 t

π lim

sin 2 t

= π

1 = π

t→0

2 t→0

2 t

ПРИМЕР 2.57. Найти предел lim

−4

x→−2 arctg(x + 2)

Решение.

lim

x 2 − 4

arctg(x + 2)= t, x + 2 = tgt

x→−2 arctg(x + 2)

x → −2 → t → 0

= lim (tg t − 2)2 − 4 = lim

tg t(tg t − 4)

= lim

tg t

lim(tg t − 4) =

t→0

t→0 t

t→0

= 1 (− 4)

= −4.

2.7.7. Второй замечательный предел

1 x

Теорема 2.8. Функция 1 +

при x → ∞ стремится к пределу e, т.е.

lim 1 + 1 x = e.

x→∞

Данное равенство называют вторым замечательным пределом. Если положить 1x = α, то при x → ∞ имеем α → 0 (но α ≠ 0) и мы получаем

lim(1 + α)α = e.

α→0

Это другая форма записи второго замечательного предела. С помощью второго замечательного предела раскрываются неопределенность вида 1∞ .

	+	3 x
ПРИМЕР 2.58. Найти предел lim 1

x→∞		x

3 x

x = 3t

Решение. lim 1

x → ∞t → ∞

= lim 1

x→∞

t→∞

= lim

lim 1+

lim 1

t→∞

= e e e = e3

ПРИМЕР 2.59. Найти предел limx 1−2x

x→0

Решение.

limx 1− 2x = lim(1−

2x)

1∞

x→0

−2

= lim(1 + t)−

= lim (1 + t)

= e−2 .

t→0

		1 t
lim 1	+			=	.

t→∞			t

t = −2x	=
x → 0 t → 0

x −

2 2x+1

ПРИМЕР 2.60. Найти предел lim

Решение.

x→∞ x +

− 2 2x+1

2x+1

∞

= −

lim

= lim

1−

x +3

x→∞ x

x→∞

x +

x → ∞t → 0

= lim(1 + t)−

−5 = lim (1 + t)

−10

lim(1 + t)−5

= e−10 1 = e−10 .

t→0

ПРИМЕР 2.61. Найти предел lim(tgx)tg2x

x→

Решение.

2tgx

2(t +1)

tgx =1+ t, tg2x =

= −

lim(tgx)

tg2x

∞

1− tg2 x

t(t + 2)

x→π

x →

→ 0

2(t+1)

−

2(t +1)

= lim(1 + t)−

= lim (1+ t)

t+2

= e−1, так как lim−

= −1.

t(t+2)

t→0

t + 2

2.7.8. Раскрытие неопределенностей вида ∞ − ∞, 0 ∞

Неопределенности ∞ − ∞ и

0 ∞ путем элементарных преобразований

сводятся к неопределенностям вида

∞.

∞

ПРИМЕР 2.62. Найти предел

lim (

x2 + 4x − x)

x→+∞

Решение.

lim (

x 2

+ 4x − x)=

∞ −∞

(

x→+∞

lim

x2 + 4x − x)( x2 + 4x + x)

lim

∞

x2 + 4x + x

∞

x→+∞

+ 4x + x

= lim

lim

= 2

x→+∞

x 1 +

+ x

→+∞

1 +

+ x

ПРИМЕР 2.63. Найти предел lim(2cosec2x −ctgx)

x→0

cosx

Решение. lim(2cos ec2x −ctgx)= lim

−

∞ −∞

x→0

x→0 sin2x

sinx

= lim

2 −

2 cos2 x

= lim

sin2 x

= lim

sin x

= 0.

2 sin x cosx

x→0

x→0 sin x cosx

x→0 cosx

ПРИМЕР 2.64. Найти предел lim(1− x)tg

πx

x→1

πx

Решение. lim(1− x)tg πx

(1− x)sin

0 ∞

= lim

πx

x→1

cos

limsin πx lim

1 − x

= 1 lim

πx

x→1

cos

πx

x→1

−

sin

(1 − x)

lim

π x→1

sin

(1 − x)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151 Мб70razdel1kim.pdf
#
17.03.20151 Мб37razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Мб142razdel2kim.pdf
#
17.03.20151 Мб35razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780 Кб38razdel3kim.pdf
#
17.03.20151 Мб95razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768 Кб29razdel4kim.pdf
#
17.03.20151 Мб42razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569 Кб42rechev_kommun.docx
#
11.09.201975 Кб99ref_8563_parta_ua.doc
#
26.11.201874 Кб22ref-23736.doc