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Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Задание №2

Доказать непосредственно (по определению) сходимость следующих рядов и вычислить их суммы

∞

1. n∑=1

;

n(n + 2)

∞

3. n∑=1

;

(2n -1)(2n +1)

∞

5. n∑=1

;

(n + 2)(n + 3)

∞

7. ∑

;

n =1 (3n

+ 1)× (3n + 4)

∞

∑

;

n =4 n 2

5n + 6

∞

11.

∑

;

-13n +

n =8 n 2

∞

13.

n∑=1

;

(3n -1)× (3n + 2)

∞

15.

∑

;

-12n -

n =2 9n

∞

17.

∑

;

n =1 n

+ 6n + 8

∞

19.

∑

;

n =1 9n

+ 6n - 8

∞

21.

∑

;

n =1 9n

+ 3n - 2

∞

23.

∑

;

n =2 n 2 -1

∞

25.

∑

;

2 + 5n -

n =1 25n

∞

27.

∑

;

n =1 3n

+ 21n - 8

∞

29.

∑

;

n =1 4n

+ 4n - 3

∞		1	+	1
2. ∑					;

n=1	2n			3n

∞1

4.n∑=1 (3n - 2)(3n +1);

∞		1	+	1
6. ∑					;

n =1	2n			5n

∞

8. ∑

;

+ 3n +

n =1 n 2

∞

10.

∑

;

+ n -

n =2 n

∞

12.

∑

;

n =5 n

7n +12

∞

14.

∑

;

n =3 n

∞

16.

∑

;

2 + 8n +

n =1 4n

∞

18.

∑

;

- n -

n =4 n 2

∞

20.

∑

;

2 + 4n -

n =1 4n

∞

22.

∑

;

n =6 n 2 -

8n + 15

∞

24.

∑

;

n =1 16n 2 -

8n - 3

∞

26.

∑

;

n =1 16n 2 -

8n -15

∞

28.

∑

;

n =1 49n 2 +

7n -12

∞

30.

∑

;

n =1 16n 2 +

8n - 3

Задание №3

Исследуйте на сходимость следующие ряды с положительными членами

	∞			1
1.	∑							;
1.	∑							;
	n =1 n(n +1)(n + 2)
	∞	n 2 +1
3.	∑				;
3.	∑				;
	n =1 n 3 +1					π
	∞	2n sin
5.	∑						;
5.	∑					4n	;
	n =1					4n
	∞		n
7.	∑		n	;
7.	∑			;
	n=1 n 3 +1

∞1

9.∑ n n n ;n =1

∞

11.

∑

sin

;

n =1 n

∞

13.

∑ sin

;

n =1

n 2

∞

15.

∑

;

n 2 + 2n + ln n

n =1

∞

2 + 3n

17.

∑

;

n =1

2 + 3n 2

∞

n +1

19.

∑

;

n =1

n 5

3n + 2

∞

21.

∑

;

(n 2 -

2)ln(3n -

n =2

∞

n 3

23.

∑

;

(n +1) (n +1)(n +

n =1

∞

25.

∑

;

n =1 3 + n 3

∞n −1

27.n∑=1 n(n +1)(n + 2);

∞	2n sin	1
29. ∑			;
		5n
n=1

∞

+ 5

∑

;

n =1 n 5 + n +

∞

∑

;

n =1 5 n 4 ×4

n +1

∞

∑ 2n arctg

;

n =2

∞

;

∑

n=3 n ln n

∞

2 -

- 2

10.

∑

;

n =2

∞

12.

∑

cos

;

n 1

∞

14.

∑

( n + 2 - 2

n +1 + n );

n =1

∞

16.

∑

;

n =1 n 2 - ln 2 n

∞

sin 2 n

18.

∑

;

n =1

∞

2n × sin

20.

∑

;

n =1

∞

22.

∑

;

n =2

(n 2 +1)(n +1)

∞ 2n −1

24. ∑ ;

n =1 2n 2 +1

∞1

26.∑ ;


	n =1 5 n 4 × 4				n +10
	∞		n + 2
28.	∑					;
		(n 3 -1)2
	n =1
	∞	n -1		5
30.	∑			.

	n =1	n 2

Задание №4

Исследуйте на сходимость следующие числовые ряды с положительными членами

∞

n + 2

∑

;

n =2 2n (n -1)

∞

(n +1)2

3. n∑=1 (n + 2)!;

∞

n n

∑

;

(n!)2

n =1

∞

2n n!

∑

;

n n

n =1

n! 3

∞

n +1

∑

;

2n + 3

n =1

∞

(n +1)! sin

11.

∑

;

2n +1

n =1

∞

5n (n +1)!

13.

n∑=1

;

(2n)!

15.

∞

(3n + 2)!

∑

5n × n 2

;

n =1

∞

2n (n 2 -1)

17.

∑

;

n=1

(n +1)arcsin

∞

19.

∑

;

n =1

∞

;

21.

∑

n =1

(2n -1)!

∞

32n

23.

∑

arcsin

;

n =1 n 2

25.

∞

(n + 2)!

∑

;

n =1

n n

∞

3 × 5 × 7K(2n +1)

27.

∑

;

n =1 2 × 5 ×8K(3n -1)

∞ 2n × (n 3 +1)

29. ∑ ;

n=1 n 2 ×3n

∞ 3n × n!

2. n∑=1

;

(2n)!

∞

∑

;

n =1 (3n)!

∞

∑

;

n =1 n n−1

∞

∑

;

n =1 (n + 2)!3n

3n−1

∞

n 2 + 4

10.

∑

;

n =1

(n -1)!

∞

n + 4

12.

∑

sin

;

n =1

14.

∞

(n!)2

;

∑

n =1

∞ (n +1)n

16. ∑ ;

n =1 3n n!

∞

18.

n∑=1

(2n)! tg

;

(n + 2)arctg

∞

;

20.

∑

(n + 2)!

n =1

∞

(n + 2)!

22.

∑

;

n =1

(n +1)n

∞

n +1

24.

∑

ractg

;

n =1 n + 2

∞

1× 3 × 5K(2n -1)

26.

∑

;

n =1

2n (n +1)!

∞

28.

∑

;

n =1

2n + 4

∞

n -1

30.

∑

n =1 n 2

Задание №5

Исследуйте на сходимость следующие числовые ряды с положительными членами

∞	1		n 2	+1	n 4
1 ∑						;
				2
n =1 3		n
			n

∞

2n +1 n2

;

∑

n =1

4n +

∞

∑ 2n−1 × e−n ;

n =1

∞

∑

;

n =1

3n -1

∞

n + 4 n 2

∑

;

n =1

4n -1

∞

11.

∑

;

n =1 (ln n)n

∞

2n + 3 n

sin

;

13.

∑

n =1

4n -1

∞

n 2 +1 n 2

15.

∑

;

n =1

∞

n + 6

n 2

17.

∑

;

n=1

2n −5

∞

3n + 2 n

× 2

;

19.

∑

8n−1

n =1

∞

× arcsin n

21.

∑

;

× n

∞

2n -1

n 2

23.

∑

;

n =1

4n + 3

∞

× tg n

25.

∑

;

n + 2

n =1 (n +1)n

∞

2n + 3 n 2

27.

∑

× arctg

;

n =1

n +1

∞

n 2 +1

n 2

∑

;

n =1 3

∞

;

∑

n =1

10n + 5

∞

n × 3n+2

∑

;

n =1

∞

1 n +1 n 2

∑

;

n =1 2n

∞

2n + 3 n

;

10.

∑

2n -

e2n

n =1

∞

n -1 n

;

12.

∑

n =1

4n +1

∞

;

14.

∑

n =1

n +

∞

(n + 1)n 2

16.

∑

;

n =1 3n × n n

∞

5n -1 n

;

18.

∑

n =1

∞

20.

∑ n n × sin n

;

n =1

∞

1 n 2

22.

∑

1 +

;

n =1

∞

n + 2 n 2 +n

;

24.

∑

n =1

3n -1

∞

n + 2 n2

× sin

26.

∑

;

3n +

n =1

∞

n n ×3n

28.

∑

;

n =1 (6n +1)n

∞

n - 2 3n

∞

2n 2

n 1

29. ∑

× 3

;

30. ∑

× arcsin

n =1 2n +1

n =1

Задание №6

Исследуйте на сходимость следующие числовые ряды с положительными членами

∞

∑

;

n=2 n ln 2

∞

∑

;

n =2 n 2 -

∞

∑

;

n =2 n 2 +

∞

−

7. ∑

;

n =1

∞

n + 1

∑

;

n =2

n 3

∞

11.

∑

;

(n 2 +

n =2

1)ln n

∞

13.

n∑=5

;

(n - 2)ln(n - 3)

∞

15.

∑

;

n =2

(2n 2 + 3)ln n

∞

17.

∑

;

n =2 n ln 2 (n + 7)

∞

19.

∑

;

n=2

(n 2 + 5)ln n

∞

21.

∑

;

n =1 n 2 + 2n + 2

∞

23.

∑

;

(2n +

n =1

3)ln 2 (2n +1)

∞

25.

∑

;

n =2

(3n 2 -1)ln n

∞

∑

;

27.

n =2

(n + 3)ln 2 (2n)

	∞			1
2.	∑						;
2.	∑						;
	n =1	(n +1)			ln (n +1)
	∞	1
4.	∑		;
4.	∑		;
	n =1 n 2 +1
	∞	ln n
6.	∑					;
6.	∑					;
	n =2 n(ln 4			n +1)

∞1

8.∑ ;

n =2 n

ln3 n

∞

10.

∑

;

n =2

+ 5)ln 2 (n +1)

∞

12.

∑

;

n =2 n (ln 2 n +1)

∞

14.

∑

;

n =1 n ln 2 (2n +

∞

16.

∑

;

2 -1)ln 2

n =2

∞

18.

n∑=2

;

(2n -1)ln(n +1)

∞

20.

∑

;

2 -1)ln 2

n =2

∞

22.

∑

;

2 +1)ln 2

n =1

∞

24.

∑

;

(3n - 5)ln 2 (4n -

n =3

∞

26.

∑

;

+ 2)ln 2

n =2

∞

n + 1

∑

;

2 +1)ln 2

28.

n =2

∞		1		∞	n 2 + 1
29. ∑			;	30. ∑			.
29. ∑			;	30. ∑			.
n =1	(n 2	+1 )ln 2 (n 3 +1)		n=2	(n 3 + 1)ln 2	n

Задание №7

Исследовать на абсолютную сходимость числовые ряды с членами произвольных знаков

1. 1 -

+ K;

2. 1 -

-L +

(-1)n−1 n

+ K;

+ K + (-1)n+1

n 3

+ K;

n π

∞

4. ∑

ln n

sin

;

∑ sin (p

n 2 +1);

n 1

(-1)n

∞

sin n 2

∑

;

∑

;

+ (-

1)n

n =2

n =1 n 2 + cos2 n

∞

sin n

∑

cos

;

∑

;

n 2 +

n =2 ln 2

n +1

n =10

10 sin n

∞

cos n

∞

sin n 2

10.

∑

;

11.

∑

;

n 2

n =5 n 2

+ 5 cos n

n =1

∞

(-1)n

∞

sin n × sin n

12.

∑

;

13.

∑

;

n 2

n =2

[n + (-1)n ]

n =1

∞

100

∞

14.

∑

sin n 3 ;

15.

∑

cos n 3 ;

n =0 2n

n =0 3n

∞

(-1)n 2

∞

cos n

16.

∑

;

17.

∑

;

[n + (-1)n ]3

n 3

n =2

n=1

∞

cos n × sin n

∞

cos n × cos n

18.

∑

;

19.

∑

;

n 2

n 4

n =1

n + 1

∞

cos n

× sin(2n);

∞

cos(2n);

20.

∑

21.

∑

n =0

n =2

∞

n π

∞

sin n(n + 1)

22.

∑

cos

;

23.

∑

;

n =2 n ln3 n

n +1

n =1

(n +1)2

∞

sin

n π

∞

sin n 2 cos n

25.

∑

;

24.

∑

;

n =0

(n +1)

n =1 n 3

∞

ln 2

(n +1 )p

sin

nπ

26.

∑

sin

cos

;

∞

n =2

n 3

27.

∑

;

n=2 n 3 +1

∞

cos

(n +1)cos n

∞

cos n π

28.

∑

;

29.

∑

;

n =2

n 2 +1

n=1 n 2 + 1

∞

cos2 n × sin

n π

30.

∑

n =1

n 2 +1

Задание №8

Исследовать на абсолютную сходимость ряды с членами произвольных знаков

∞

sin

π n

ln 2 n × cos

π n

∞

∑

;

∑

;

n =1 n

n + sin p n

n =2

n 2

∞

p n

∞

sin n

∑

× cos

;

∑

;

(

)

n =1

n +1

n 1

n + sin

∞

(-1)n

sin n

∞

sin

n π

∑

;

∑

;

n p

n =1

n 1

n + sin

n π

∞

cos n

∞

sin

∑

;

n =1

∑

;

+ (-1)n

n =2 n 2

∞

n!en

p n

∞

cos π n

∑

× sin

;

10.

∑

;

n+2

n =1 n

n =2

3 n 4 + (-1)n

cos(n

+1)sin

∞

- cos

sin n

11.

∑

;

n =1

12.

∑

;

n2 +1

n =1

(-1)

2n + (- 3)n

- cos

∞

14.

∑

;

13.

∑

;

n =1

n n +1

n +1

n =1

∞

15. ∑

n =1

∞

17. ∑

n =1

∞

19. ∑

n =1

∞

21. ∑

n =1

∞

23. ∑

n =1

∞

25. ∑

n =2

∞

27. ∑

n =1

∞

29. ∑

n =1

1	sin	1		;
	sin			;
n 2 + 4			n

(- n)4 cos(2n); 4n

sin(n 2 +1)cos (n +1);

(n +1)2

n 2 × sin n +1

× sin

;

3 n 5 +1

(-1)

n (n−1)

;

(-1)

n (n−1)

1 +

× sin

;

cos(n + 1)sin n; n 2 +1

(1 + cos n)sin	1		× sin n;


n + 2		n

∞

16. ∑

n =2

∞

18. ∑

n =2

∞

20. ∑

n =1

∞

22. ∑

n =1

∞

24. ∑

n =1

∞

26. ∑

n =1

∞

28. ∑

n =1

∞

30. ∑

n =1

cos n

;

+ (-1)n

n 4

ln n − n

;

n 2

sin 2 n × cos (n

2 +1)

;

n 2 +1

sin n × cos

×sin 2

;

n +1

cos n

sin

;

sin (an 2 + 1), a - const; n 2 + 1

sin n 2 sin 1

n ;

n +1

(1 + sin n 2 )cos n. n 2 +1

Задание №9

Доказать справедливость следующих равенств при помощи необходимого условия сходимости рядов:


1.	lim		2n	= 0;

	n→∞ n !
3.	lim		(2n)!			= 0;
	n→∞ a n!
5.	lim	n100			= 0;

	n→∞ 2n			2
7.	lim		n				= 0;


	n→∞ (n + 1)!
9.	lim		n 4			= 0;
			(2n)!
	n→∞

(n + 1)! = 11. lim ( ) 0;

n→∞ 2n +1 !

2. lim (n ) = 0;

n→∞ 2n !

4. lim	n	= 0;

n→∞ 2n

6. lim (n10 − 1)= 0;

n→∞

8. lim		n 2		+1		= 0;
			(2n)!
n→∞
10.	lim		(n + 1)! = 0;
	n→∞			2	n2

12.	lim		(n + 1)! = 0;
	n→∞			n n


		n n+1
13.	lim			= 0;

	n→∞	(2n)!
15.	lim	(n + 2)!				= 0;
		(n +1)n
	n→∞
		n 2
17.	lim				= 0;

	n→∞	(n -1)!
19.	lim	n n				= 0;
		(2n + 3)!
	n→∞
21.	lim	(n +1)3				= 0;
		(2n + 3)!
	n→∞
23.	lim	(n +1)5				= 0;
		(2n +1)!
	n→∞
25.	lim	n!	= 0;

	n→∞ 3n2
27.	lim (5n)! = 0;
	n→∞ 2n2
29.	lim	n 2 + 4				= 0;
		(2n +1)!
	n→∞


14.	lim	[5(n -1)]n						= 0;
	n→∞	(2n +1)!
16.	lim	n n +1						= 0;
		[(n + 3)!]2
	n→∞
18.	lim	n!	= 0;

	n→∞ 3n2
		(n -1)n
20.	lim					= 0;

	n→∞	(2n +1)!
22.	lim	(n + 10)! = 0;
	n→∞	(n +1)n
		3n
24.	lim						= 0;

	n→∞	(2n + 3)!
26.	lim	n!		= 0;

	n→∞ 2n 2
		23n
28.	lim				= 0;

	n→∞	(n + 4)!
30.	lim	(2n)! = 0;
	n→∞	(2n 2 )!

Задание №10

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие знакочередующиеся ряды

∞

(-1)n +1

∞

(-1)n +1

∑

;

∑

;

n =1 3n -1

n =1

n +1

∞

(-1)n +1

∞

(-1)n ln(n +1)

∑

;

∑

;

n =1 5n - 3

n =1

∞

(-1)

n +1

∞

(-1)n+1

n 2

∑

;

∑

;

n +

n =1

n =0

∞	(-1)n+1 n
7. ∑	;
n =0	n 2 +1

∞	(-1)n−1 ×			(2n +1)	;
9. ∑		n(n +1)			;
n =1		n(n +1)
11. ∑		(-1)		× (n +1) ;
∞			n

n =1 (n +1)× n +1 -1


	∞ (-1)n+1 × n
8. ∑			;
n =1			6n - 5
	∞	(-1)n ×				2n +1	n
	∞
10.	∑						;
10.	∑						;
	n =1			3n +1
	∞		(-1)n −1
12.	∑				;
	n =1			n + 4


	∞	(-1)n+1
13.	∑				;
13.	∑				;
	n =1 n 3		2n + 3
15.	∞	(-1)n +1 × cos 3n+1
15.	∑		;
	n =1			3n+1
	∞	(-1)n−1 × (2n -1)
17.	∑					;
	n =1			n 5 +1

∞(-1)n+1

19.∑ × 4 2n + 3 ;n =1 n

∞

(-1)n+1

21.

∑

;

n =0 n 2 + sin 2

∞

(-1)n+1 ×

23.

∑

;

n =1

2n +1

∞

(-1)n+1

25.

∑

;

n =1 n × n 2 + 4

∞

(-1)n−1 × sin (n

)

27.

∑

;

n =1

∞(-1)n+1 × n

29.n∑=1 (n +1)(n + 2) ;

∞

(-1)n +1

14.

n∑=3

;

(n +1)ln (2n)

(-1)n+1 × tg

∞

16.

∑

;

5n 2 -1

n =1

∞

(-1)n−1 × (n +1)

18.

∑

;

n 3

n =1

∞

(-1)n +1

20.

n∑=1

;

(n + 1)ln (n + 1)

∞

(-1)

22.

∑

ln 1

;

n =1

∞

(-1)n+1

24.

∑

;

n =1 ln (n +1)

∞

(-1)n+1

+ 1

26.

∑

;

n =1

n 5

∞

(-1)n +1 × tg

28.

∑

;

n =1

∞

(-1)n+1 × n

30.

∑

n =4 n 2 - 5n +

Задание №11

Вычислить сумму следующих рядов с заданной точностью

1 ∑∞	(-1)n+1	, a = 0,01;	2. ∑∞ (− 1)n−1	, α = 0,001;
n =1	n 2		n=1 n!

∞	(-1)n−1
3. ∑	, a = 0,001;
n =1	(3n)3

5.	∞	(-1)n +1 × (n +1)
5.	∑	2n		, a = 0,01;
	n =1	2n
	∞	(-1)n +1 n
7.	∑			, a = 0,01;
7.	∑			, a = 0,01;
	n =1 n 2 + 2n +		1
9.	∞	(-1)n+1
9.	∑	, a = 0,01;
	n =1	(3n)!

	∞		(-1)n+1
4.	∑				, a = 0,01;
4.	∑				, a = 0,01;
	n =1 n(n +1)
6.	∞	(-1)n+1 (n + 2)
6.	∑			3n		, a = 0,01;
	n =1			3n
	∞		(-1)n +1
8.	∑					, a = 0,001;
8.	∑		(n + 1)n			, a = 0,001;
	n =1		(n + 1)n
	∞			(-1)n +1		× n 2
10. ∑						, a = 0,001;
	n =1			3n +1

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