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Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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∞	(-1)n+1
11. ∑	, a = 0,001;
n =1	4n × n!

13.	∞	(-1)n +1 (2n +1)					, a = 0,01;
13.	∑		(n +1)3 n				, a = 0,01;
	n =1		(n +1)3 n
15.	∞	(-1)n +1 × n 2
15.	∑		2n		, a = 0,01;
	n =1		2n
	∞		(-1)n−1 (n -1)
17.	∑						, a = 0,001;
17.	∑						, a = 0,001;
	n =1 n(n + 2)(n + 4)
	∞		(-1)n −1
19.	∑				, a = 0,01;
19.	∑				, a = 0,01;
	n =1 n 2 (n + 4)
21.	∞	(-1)n+1
21.	∑		, a = 0,001;
	n =1		(2n)n
23.	∞	(-1)n−1 (n +1)				,	a = 0,01;
23.	∑		n n			,	a = 0,01;
	n =1		n n
25.	∞	(-1)n−1 (n + 2)
25.	∑		(4n)!(n 2 + 4)			, a = 0,001;
	n =1		(4n)!(n 2 + 4)
27.	∞	(-1)n+1 (n +1)				,	a = 0,001;
27.	∑			1)4		,	a = 0,001;
	n =1 n 3 (n +			1)4
	∞		cos π n
29.	∑		cos π n		, a = 0,001;
29.	∑				, a = 0,001;
	n =1 2n (n + 1)

n +1

∞

12.

∑

, a = 0,01;

n +

n =1

n+1

∞

14.

∑

, a = 0,01;

n +

n =0

∞

(-1)n+1

16.

∑

, a = 0,01;

n =1 2n+1 × (n +

∞

(-1)

n −1

18.

∑

, a = 0,001;

n =1 3n (3n +1)

20.

∞

(-1)n+1 × n

, a = 0,001;

∑

(5n)!

n =1

22.

∞

(-1)n−1 (n -1)

∑

, a = 0,001;

n =1 2n (n 2 +

24.

∞

(-1)n+1 (n +1)

∑

2n (n + 5)

, a = 0,001;

n =1

26.

∞

(-1)n+1 × n

, a = 0,01;

∑

(n +1)3

n =1

∞

(-1)n

28.

n∑=1

, a = 0,01;

(2n +1)

∞

(-1)3

30.

∑

, a = 0,0001.

n =0 n (n + 1)n

Задание №12

Определить область сходимости функционального ряда и исследовать на сходимость на границе области сходимости следующие функциональные ряды:

∞

(-1)n

1 - x n

∞

∑

;

∑

;

n =1 n +1

1 + x

n =1 n +1

2x +1

∞

n ×3

× x n (1 - x)n ;

∞

∑

;

- x n

n=1 2n

n =1 1

∞

∑

;

∑ x n × tg

;

n =1

n=1

∞

x n

∞

∑

;

∑

;

+ x n + x

n =0 1 + x 2n

n =1 1

∞

2n + 1

∑

;

n =0 (n +1)5 × x 2n

∞

n + 1

× (x 2 - 4x + 6)n

11.

∑

;

n =1 3n

13.

∞

(x 2 - 6x +12)n

;

∑

4n (n 2 + 2)

n =1

15.

∞

(x +1)n

∑

;

n =1

n + x 2

∞

n + 4

× (x 2 - 2x +1)n ;

17.

∑

n =1 n + 5

∞

19.

n∑=1

;

(x + n)× (x + n +1)

∞

n 2

21.

∑

× (25x 2

+1)

;

n =1 3n × (n 2 +1)

∞

23.

∑

;

n =1 3n x + 2

25.

∞

;

∑

(n 2 +1)× (n + x)

n =1

27.

∞

n x + 1

;

∑

(n 2 + 1)× (n 2 + e x )

n =1

∞

+ 1

29.

∑

;

n =1

n x 2 −1

∞

10.

∑

;

n =1 n!x n

∞

12.

∑

;

n=1 x n + n 2

∞

14.

∑

;

n =1 n (n + ex )

∞

16.

∑

;

n =1 n +1

(3x 2 + 4x + 2)n

∞

n + 3

18.

∑

;

(27x 2 +12x + 2)n

n =1 n +1

∞

2n 3

20.

∑

;

(3x 2 +10x + 9)n

n =1 n 3 + 2

∞

(-1)n × n

22.

∑

;

(n - ex )× (n 2 +1)

n =1

∞

24.

∑

;

n x2 −1

n=1

26.

∞

;

∑

(x + n 2 )× (x + n 2 + n)

n =1

∞

(-1)n

28.

∑

;

(x 2 + n 2 + n)2

n=1

∞

(-1)n

30.

∑

n =1

(x 2 + n 2 )−1 5

Задание №13

Найти область сходимости функционального ряда

∞

∑ n × e−n x ;

∑

;

1+cos x

n =1

n =1 n

∞

n x

∞

∑

;

∑

;

n=1 2n − 1

n =1 n e+ln x

∑∞ (-1)

n +1

∞

;

∑

;

n =1 n1+ln x

n =1 x n

∞

n + 1

∞

∑

;

∑

;

n =1

(x - 2)

× n × 4

n x

n =1

∞

9. ∑

;

n =1 x n

∞

11.

∑

;

(1 + sin x)n

n =1

∞

13.

∑

;

n =1 n 2−cos x

15.

∞

(n + 1)!

;

∑

x 2 n

n =1

∞

ln (n + 1)

17.

∑

;

x n

n =1

∞

e−n2x

19.

∑

;

n =1

n 2

∞

21.

∑

;

n =1 n

∞

x + n n

23.

∑

;

n =1

∞

(-1)n

25.

∑

;

n =1 x 2 + n

∞

27.

∑

;

n=1 x n × n n

∞

(-1)n × n

29.

∑

;

n =1

x + n

∞

n × (n + 1)

10.

∑

;

(x - 2)n

n =1

∞

12.

∑

;

n =1 n

∞

14.

∑

;

n =1 n ln x−1

∞

16.

∑

;

n =1 n 2 + x 2

∞

sin n x

18.

∑

;

n n

n=1

20.

∞

(n + x)n

∑

n n

;

n =1

∞

(5 - x 2 )n ;

22.

∑

n =1

∞

24.

∑

;

n =1 n 2

sin x

26.

∞

(2 - x

2 )n

;

∑

n 2

n=1

28.

∞

x ln n

;

∑

n =1

- n

∞

n + 1

30.

∑

n =1 n(n + e x )

Задание №14

Доказать равномерную сходимость (мажорируемость) функциональных рядов:

∞

sin n x

∞

cos

2 n x

∑

, x Î (- ¥;+¥);

∑

, x Î (- ¥;+¥);

n =1 3 n 4 + x 4

n =1 n(n +

1)(n + 2)

∞

sin 2 (n + 1)x

Î (- ¥;+¥);

∞

sin

∑

, x

, x Î [0;+¥);

n =1 n(n + 4)(n + 5)

∑

n 3

n =1

∞

, x

(− ∞;+∞)

∑

n =1 n 2 + cos2 x

∞

−n (1+x ) , x [0;+∞);

∑ 2

n =1

∞

(− ∞;+∞);

∑

, x

n 5

+ cos 2 x

n =1

∞

11.

∑

cos n x sin(n + 1)x

, x (− ∞;+∞);

n =1

n 2 + 1

∞

−n x

, x [1;+∞);

13.

∑

n =1

15.

∑∞

(x + 1)n

sin 2

n x , x [− 2;0];

n =1

n n + 1

17.

∑∞

(x + 5)n cos

(n + 1)x , x [− 6;−4];

n =1

n + 1

n 2 + 1

19.

∑∞

(−1)n

, x [− 3;+∞);

n =1 x + 2n

∞

n x

(− ∞;+∞);

21.

∑

, x

n =1 1 + n 5 x 2

∞

e−n x , x [0;+∞);

23.

∑ x 2

n =1

∞

(− ∞;+∞);

25.

∑

, x

n =1 n 2 [1 + (nx)2 ]

∑∞ sin (n 2 + x),

27. n=1 2n

x (− ∞;+∞);

∞	n		, x [3;+∞);
29. ∑

n =1 x +		2n

∞

, x [1;+∞);

∑

n 3

+ ln x

n =1

∞

, x (− ∞;+∞);

∑

n 3

+ sin 2 x

n =1

∞

10.

∑ e−n x , x [1;+∞);

n =1

∞

, x (− ∞;+∞);

12.

∑

n (x + 1)

n =1 n 2 + sin 2

14.

∑∞

(π − x

)n cos

2 n x , x [0; π];

n =0

4 n 7 + 1

∞

sin

n x

, x [−1;1];

16.

∑

n =1

n (x + 2)

∞

x + 1 cos

n x

, x [0;2];

18.

∑

n =0

3 n 5 + 1

∞

, x [0;+∞);

20.

∑

n =1 1 + n 4 x 2

∞

sin n x

x (− ∞;+∞);

22.

∑

n =1

∞

cos n x

x (− ∞;+∞);

24.

∑

n =1

n 2

∞

−n 2 x 2

, x (− ∞;+∞);

26.

∑

n 2

n =1

28.

∑∞

(x + 1)2

cos2

n x

, x (− 2;+∞);

n =1

n + 1

∞

cos

+ 1)x

, x [−1;1].

30.

∑

n =1

n(n + 2)

Задание №15

Найти радиус и интервал сходимости. Исследовать на сходимость на концах интервала

(− 2)

(

∑

;

∞

x +1

∞

∑

;

n =1 n 2n

n =1

∞

x 2n−1

∞

(−1)n−1 x n

∑

;

∑

;

n =1 2n −1

n =1

∞

(−1)

n−1

∑

;

∑

;

(

2n +

n =1

n +1

n =1

∞

(x − 3)n

∞

(x −1)2n

∑

;

∑

;

n =1 n 5n

n =1 n 9n

∞

n x

∞

− 2)

∑

;

10.

∑

;

n +1

n =1 n 2 +

n =1

∞

(x + 3)n ;

11.

∑

n ;

12.

∑ n n

n =1 n +1 2

n =1

∞

(x + 3)n

∞

n!x n

13.

∑

;

14.

∑

;

n =1 n

n =1 n n

15.

∞

(−1)n +1 (x + 2)n

16.

∞

(−1)n x n

;

∑

;

∑

n =1

n=1

17.

∞

(n −1)x n

18.

∞

(−1)n x n

;

∑

;

∑

n =1 n 3 +1

n=1

19.

∑∞

(x − 3)n

;

20.

∑∞

(n +1)!

(x + 2)n ;

(

n =1

)

n + 1

n +1

n =1 (

∞

21.

∑∞

(x +

;

22.

∑

;

n =1

n=1

∞

(

23.

∑

x 2n ;

24.

∑

;

(

)(

n =1

n 1

+ 2

)

∞

n!(x + 2)n

∞

(x −1)n

25.

∑

;

15.26. ∑

;

n =1

∞

n +1 x

;

∞

(x + 3)n

27.

∑

15.28. ∑

n 2

;

n =1 n +

2 3

n =1

∞

15.30. ∑∞

(x − 5)

(n + 2).

29.

∑

;

(

n =1

n n

Задание №16

Найти радиус и интервал сходимости следующих степенных рядов, исследовать на сходимость на концах интервала

∞

(n +1)5 x 2n

∑

;

n=0

2n +1

∞

(−1)n (2n +1)2 x n ;

∑

n=0

∞

n−1

∑

;

n =2 n 3n ln n

∞

x n

∑

;

n =1 n n

∞

(−1)n n

∑

;

n =1

n ! e

∞

3n (2x +1)n

11.

∑

;

n =1

2n −1 n n

13.

∞

(2n −1)n (x +1)n

∑

2n−1 n n

;

n =1

∞

(−1)n (x − 3)n

15.

∑

;

(2n +1) n +

n =0

17.

∞

(−1)n+1 (2n −1)2n (x −1)n

∑

(

;

n =0

)2n

3n −

	∞	2n−1 x 2n−1
2.	∑						;
2.	∑	(		)2			;
	n =1	(		)2
		4n − 3
	∞	n! x n
4.	∑		;
4.	∑		;
	n =1 n 2 +1
	∞	n 2 (x − 4)n
6.	∑					;
6.	∑	n 3 +1				;
	n =1	n 3 +1
	∞	en n!		n
8.	∑		x		;
8.	∑		x		;
	n =0	n n

∞5 n (2x −1)n

10.∑ ;

n =1

3 n 3 +1

12.

∞

(3n − 2)(x − 3)n

∑

(

;

n =0

n+1

∞

1 n

(x −1)

14.

∑

1 +

;

n =1

(−1)n 3

(x − 2)n ;

16.

∑∞

n + 2

n =0

n +1

∞

(−1)n x n

18.

∑

;

n =1 3 8n 3 −19

19.

∞

(x + 2)n (n 2 +1)

∑

n n

;

n =1

∞

(−1)n n n

;

21.

∑

n =1

∞

n +1

23.

∑

;

n =1

∞

(x − 7)2n−1

25.

∑

;

(2n 2 − 5n)

n =1

∞

(x +1)n

27.

∑

;

(n +1)ln3 (n +

n =1

∞

(3 + (−1)n )n

;

20.

∑

n=1

∞

22.

∑

1 +

+ K +

x n

;

n =1

3−

∞

n x n

24.

∑

;

n =1

n 2 +1

∞

(x − 2)n ;

26.

∑ sin

n 2

n =0

∞

+ 3

28.

∑

;

(

n =1

n +

∞	(x +1)n sin 2 n		∞	(n + 1)4 x 2 n
16.29. ∑		;	16.30. ∑	;
n =1	n n +1		n =1	(2 n + 1)2
			Задание №17

Найти сумму рядов и интервал сходимости

∞

x 2n+1

∑

;

n =0 2n + 1

∞

x n

3. ∑

;

n =1 n (n

1 3

1 3 5

5. 1 +

x 2 +

x 3 + K;

2 4

2 4 6

7. x − 4x 2 + 9x 3 −16x 4 + K;

9. 1 + 2x + 3x 2 + K + (n +1) x n + K

11.

∞

(−1)n−1 x n

∑

;

n =1

x 5

x 4n−3

13.

x +

+ K +

+ K;

4n −

∞

x 2n

15.

∑

;

n=1 2n

∞

x 4n −1

17.

∑

;

−

n =1 4n

∞

19.

∑ n 3n−1 x n−1 ;

n =1

∞

(−1)n x

2n+1

∑

;

n=0

2n +1

∞

4. ∑ n x n ;

n=1

x 2

x 4

x 2n

6. 1 +

+ K +

+ K;

(2n)!

8. 1 2x + 2 3x 2 + 3 4x 3 + K;

10.

x +

x 2

x 3

+ K +

x n

+ K;

∞

12.

∑

при

> 1;

n =1 x n

∞

14.

∑

;

n =1 x n

∞

3n + 1

16.

∑

x 3 n ;

n =0

∞

x 4n−3

18.

∑

;

n =1 4n − 3

∞

x n

20.

∑

;

n =1 n

	∞	x n+1				∞	x n
21.	∑		;		22.	∑		;

	n =0 n!(n +1)					n =1 n 3
23.	∞	(−1)n x 2n+1			24.	∞	(−1)n x 2n		;
	∑		;			∑	(2n)2
	n =0	(2n +1)2				n =1
	∞	(−1)n x 2n+1				∞	(−1)n x 2n
25.	∑			;	26.	∑	2n (2n) !		;

	n =0	(2n +1)(2n +1) !				n =1
27.	∞	(−1)n e(2n+1)x			28.	∞	(−1)n cos		2n x
	∑		;			∑			;
	n=0	(2n +1)!				n =0		(2n) !

∞	en x		∞	sin n x
29. ∑		;	30. ∑		.

n=0	n!		n=1	n 2

Задание №18

Найти сумму следующих рядов и интервал сходимости

∞

cosn

∑

;

n =2 n(n −

∞

n + (−1)

x n ;

∑

n =2

n(n −1)

∞

∑

;

n =1

n +1

∞

e−nx

∑

;

n =1 n (n +1)

∞

∑

;

n =1

n n 2

∞

n + (−1)n

11.

∑

;

n (n +1)

n=2

13.

∞

(−1)n+1 tg n x

∑

n(n +

;

n =1

∞

(−1)n x

2n+2

15.

∑

;

n =0 16n (2n +

∞

n+1

tg x

17.

n∑=0

;

(n +1) n!

∞

−nx

19.

∑

;

n 2

n=1

∞

−nx

21.

∑

;

n=1 n 3

23.

∞

(−1)n −1 x n+1

∑

n 2 (n +1)

;

n =1

∞

−n sin x

25.

∑

;

n =0

27.

∞

(−1)n (arcsin x)2n+1

∑

(2n +1) !

;

n =0

∞

(4 n + 9)x n+1 ;

∑

n =0

∞

x 2n+2

4. n∑=0

;

(2n + 2) (2n + 3)

∞

−nx

∑

;

n=1

∞

n+1

−1 ;

8. ∑

1 + (−

x n

n =1

∞

3n+1

10.

∑

;

(n +1)x n+1

n =0

∞

(−1)n

12.

2 +

;

∑

n =1

∞

x 2n

14.

n∑=2

;

(2n − 3) (2n − 2)

∞

(−1)n x 2n−1

16.

∑

;

n =1 4n (2n −1)

∞

x n + tg n x

18.

∑

;

n =0

∞

tg n

20.

∑

;

n =2 n (n −1)

∞

22.

∑

(−1)

;

n =1

24.

∞

(−1)n x 2n +1 + (−1)n sin 2n+1 x

∑

(2n +

;

n =1

e−n sin x

1)!

∞

26.

∑

;

n =1

28.

∞

(−1)n (arccos x)2n

;

∑

(2n)

n =0

∞	(x + 1)2n	∞	(x arctg x)n
29. ∑	;	30. ∑	.
n =1	4n	n =1	n 2

Задание №19

Разложить следующие функции в ряд Маклорена. Найти их интервал сходимости

y = cos2 x +1;

y = ch 2 x;

y = (x − tg x)cos x;

y =

;

1 + x 2

y = arcsin x 2 + 1;

11.

y =

x10

;

1 − x

13.

y =

;

1 + x

15.

y =

;

1 + x − 2x 2

17.

y =

;

8 + 2x − x 2

19.

y = (3 + e−x )2

;

21.

y = ln (1 − x − 20 x 2 );

y = x 3

;

23.

27 − 2x

y = 4

;

25.

16 − 5x

27.

y =

∫ e−t2

dt;

29.

y =

∫ cos t 2 dt;

2. y = sin 2 x +1;

4. y =		1 + x 2 ;
6. y = x ln(1 + x);
8. y = arctg 2 x +1;
10.	y = sh 2 x;
12.	y = (1 + x)ln(1 + x);
14.	y = (1 + x 2 ) arctg x;
16.	y = sin 2 x cos2 x;
		arcsin x 2
18.	y =					−1;
18.	y =					−1;
			x
20.	y = (x 2 −1)ch x;
22.	y = ln (1 + x − 5x 2 );
24.	y = ln (1 + x −12 x 2 );
	y =		x 2
26.					;
26.					;
			4 − 5x
	y =	x sin t
28.		∫		dt;
28.		∫		dt;
		0	t
		x
30.	y =	∫ sin t 2 dt.
		0

Задание №20

Вычислить интеграл с точностью до 0,001

	1		0.1 ln(1 + 2x)
1.	∫sin x 2 dx;	2.	∫		dx;
1.	∫sin x 2 dx;	2.	∫		dx;
	0		0	x
3.	0,5∫ cos (4x 2 )dx;	4.	0,25∫	sin (25x 2 )dx;
	0		0

									x
0,4		ln 1 +
		ln 1 +
									2		dx;
5.	∫
5.	∫					x
	0					x
0,3
7.	∫ e−2x2						dx;
	0
1
9. ∫e−x2						dx;
0
11.	0∫,5 sin (4x 2 )dx;
	0
13.	0,1		e−6 x 2					dx;
13.	∫		e−6 x 2					dx;
	0		1 − e−2x
	0,1		1 − e−2x
15.	∫									dx;
15.	∫					x				dx;
	0					x
17.	0,5					dx					;
	∫					dx


				4 1 + x 4
	0			4 1 + x 4
	0,2				−3x2 dx;
19.	∫		e		−3x2 dx;
	0
21.	0∫,1 cos(100 x 2 )dx;
	0
	0,1 ln(1 + 2x)
23.	∫											dx;
23.	∫					x						dx;
	0					x
	1 arctg x
25.	∫								dx;
25.	∫				x				dx;
	0				x
27.	0,1∫		cos(25 x 2 )dx;
	0

2dx

6.∫ ;

03 64 + x 3

0,2∫ cos(25 x 2 )dx;

10.

0,5

;

∫

3 1 + x 3

12.

;

∫

0 3 8 + x 3

14.

∫cos x 2 dx;

16.

0∫,1 sin (100x 2 )dx;

ln 1 +

18.

dx;

∫

20.

2,5

;

∫

3 125 + x 3

22.

0∫,1 sin (100x 2 )dx;

24.

1 ln(1 + x)

dx;

∫

0,2

ln 1

26.

dx;

∫

−

28.

0,2

1 − e

dx;

∫

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17.03.20152 Мб155УМК6.pdf
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