135
65.Выпуклость и вогнутость функции. Признаки выпуклости и вогнутости функции.
66.Дифференциал функции одной переменной, его свойства и геометрический смысл. Инвариантность формулы представления дифференциала. Приближенное вычисление с помощью дифференциала.
67.Дифференциалы высших порядков.
68.Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
69.Понятие функции двух независимых переменных. Непрерывность функции двух переменных.
70.Дифференцирование функции двух переменных. Геометрический смысл частных производных.
71.Полный дифференциал функции двух переменных. Теорема о дифференцируемости функции двух переменных.
72.Производные высших порядков функции двух переменных.
73.Сложная функция двух переменных. Дифференцирование сложной функции.
74.Неявная функция. Вычисление ее производных.
75.Градиент функции многих переменных и его геометрический смысл.
76.Уравнение нормали к поверхности в данной точке.
77.Экстремум функции многих переменных.
78.Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 1
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A(4; 1) , B(0; − 2) , C(−5; 10) треугольника. Требуется найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. Даны уравнения двух сторон параллелограмма x − y −1 = 0 , x − 2 y −1 = 0 и точка P(2; − 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.
136
3. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от прямой
8x +15y +10 = 0 равно 1.
4.Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки C(0; − 4) и от прямой y + 2 = 0 . Сделать чертеж.
5.Составить уравнение гиперболы и ее асимптот, если известно, что гипербола симметрична относительно осей координат, один из ее фокусов совпа-
дает с центром окружности |
x2 + y2 − 20 y +19 = 0 , а эксцентриситет равен |
|||||
1,25 . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
||
6. |
Дано уравнение параболы |
x2 +10x − 4 y +33 = 0 . Сделать параллельный |
||||
перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне- |
||||||
ние параболы приняло вид |
x2 |
= ay или |
y2 = ax . Построить обе системы |
|||
координат и параболу. |
|
|
|
|
||
7. |
Решить систему линейных алгебраических уравнений: |
|||||
|
|
2x −3y + z − 2 = 0, |
||||
|
|
x + 5 y − 4z + 5 = 0, |
||||
|
|
4x + y −3z + 4 = 0, |
||||
|
а) |
используя правило Крамера; |
|
|
||
|
б) |
используя матричный метод; |
|
|
||
|
в) |
используя метод Гаусса. |
|
|
||
8. |
Даны векторы ar ={1; 2; 3}, |
b ={−1; 3; 2}, |
c ={7; −3; 5}, dr ={6; 10; 17} в |
|||
некотором базисе. Показать, |
что векторы a , |
b , c образуют базис, и найти |
||||
координаты вектора dr в этом базисе. |
|
|
||||
9. |
Даны вершины A1 (3;1; 4) , |
A2 (−1; 6;1) , |
A3 (−1;1; 6) , A4 (0; 4; −1) пирамиды. |
|||
Требуется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
137
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
4x6 − x +5 |
|
; |
|
б) |
lim |
x2 −9 |
|
|
; |
||
|
+3x2 +1 |
|
3x2 −8x − |
|
|||||||||
|
x→∞ x6 |
|
|
|
x→3 |
3 |
|||||||
в) |
lim |
|
x2 + 2 − 2 |
; |
г) |
lim |
1−cos 6x |
; |
|
|
|||
|
|
x2 +1 −1 |
|
7x sin 3x |
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
||||
д) |
lim x [ln(3x −1) −ln(3x − 2)]. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
|
x +π, |
|
|
|
x < −π; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−π ≤ x < 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y = sin x, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
− 2x, |
|
|
|
x ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
Найти производные |
dy |
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y = |
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
; |
б) |
y = 3 tg2 3x ; |
|
|
|||
|
|
3 9x + |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
x3 +10 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
в) |
y = ln 5 |
|
|
|
10 |
|
|
; |
|
|
г) |
y = 1 arccos |
7 |
; |
||||||
|
|
e5x −e−5x |
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|||||||
|
д) |
x sin x2 y − y cos 2x =10 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
||||||||||||||||
dx |
|
dx2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = cos 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = t −sin t.
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
а) y = (sin x )ln sin x ; |
б) y = (x − 2)3 4 x − 2 . |
|
5 (x −3)2 |
138
6. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:
а) lim |
x3 −3x2 + 2 |
|
; |
б) lim(x ctgπx). |
|
||||
x→1 x3 − 4x2 +3 |
|
x→0 |
||
7. На линии y = 4x2 + 20x + 22 |
найти точку, в которой касательная к этой |
|||
линии параллельна прямой 12x +3y − 25 = 0 .
8. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4x +1 |
|
|||
а) |
|
x |
|
− x |
2 |
|
; |
б) |
y =1+ |
. |
|||
y = 3 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
||||||||||||
а) |
y = 3 x3 + 7x , |
|
x =1,012 ; |
б) |
y = x5 , x = 2,997 . |
||||||||
10. Найти частные производные ддxz , ддyz функции z = z(x; y) :
|
а) |
z = 2x2 + xy ; |
|
|
|
б) |
z = arctg (x2 y2 ) . |
11. |
а) Найти производную сложной функции |
z = f (ϕ(t);ψ (t)) : |
|||||
|
|
f (x; y) = |
x2 + xy , |
ϕ(t) = sin t , ψ (t) = et . |
|||
|
б) |
Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
сложной функции |
|
|
|
дv |
|||||
|
|
z = f [ϕ(u; v);ψ (u; v)]: |
дu |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x; y) = xy2 − yx3 , |
ϕ(u; v) = u sin v , |
ψ (u; v) = u cos v . |
|||
12. |
Дана функция z = x2 + xy + y2 |
и |
две |
точки A(1; 2) и B(1,02; 1,96) . |
|||
|
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
1)вычислить значение функции в точке B ;
2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;
3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при замене приращения функции ее дифференциалом;
4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = x2 + xy + y2 в точке C(1; 2; z(1; 2)) .