Методичка Зубкова

ваться более точными приближениями. Например, для полупроводника n-типа проводимости при невысоких температурах, учитывая, что p0 n0 , p0 ND NA , а все акцепторные уровни ионизированы, имеем:

n0 ND NA .

Подстановка соответствующих выражений приводит к уравнению 2-го порядка, решение которого имеет вид

Данное выражение справедливо на примесном участке и в области истощения одновременно.

При высоких температурах, наоборот, нельзя пренебрегать свободными носителями заряда, но можно считать, что примеси полностью ионизированы:

n0 p0 ND NA ,

откуда, снова решая квадратное уравнение, для полупроводника n-типа получаем:

Данное выражениесправедливо дляобласти истощения и собственной области. Для полупроводника p-типа получим выражения аналогично (3.32) и

(3.33). Для примесной области и области истощения:

где p1 gANV exp EA kBT введено по аналогии с (3.20). Для собственной области и области истощения

Уравнениями (3.32)–(3.35) полезно пользоваться при детальных расчетах температурной зависимости концентрации свободных носителей заряда в различных полупроводниках.

51

3.13.Контрольные вопросы

1.Дайте определение равновесной концентрации носителей заряда.

2.Что характеризует уровень Ферми? Как он определяется?

3.Поясните различие между распределением Ферми–Дирака и распределением Больцмана.

4.Для чего вводится масса плотности состояний?

5.Объясните значения фактора вырождения для донорного и акцепторного уровней.

6.Сформулируйте закон электронейтральности. Приведите примеры.

7.Что такое закон действующих масс?

8.Что такое температура истощения примеси?

9.Основныеи неосновныеносители зарядав примесном полупроводнике.

10.Укажите особенности поведения уровня Ферми в полупроводнике

счастичной компенсацией примеси.

52

4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ. НЕРАВНОВЕСНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

4.1.Кинетическое уравнение Больцмана

Впредыдущих главах были рассмотрены свойства полупроводников, обусловленные электронами и дырками, находящимися в термодинамическом равновесии. Предметом рассмотрения настоящей главы является неравновесное состояние, когда электроны двигаются в кристалле в результате приложенных внешних полей: электрического, магнитного либо под действием градиента температуры или градиента концентрации носителей заряда. Такие процессы называются кинетическими явлениями или явлениями переноса.

Вусловиях неравновесного процесса электроны приобретают во внешнем поле дополнительную энергию, которая далее рассеивается в решетке кристалла; как правило, это происходит на фононах или различного рода статических дефектах решетки. Очевидно, что характеристики неравновесного процесса, в отличие от равновесного, будут существенно зависеть от механизма взаимодействия (т. е. рассеяния) в системе.

Выведем уравнение, описывающее неравновесный процесс движения электронов в кристалле в квазиклассическом приближении, когда можно одновременно задавать координату и импульс частицы. В термодинамическом равновесии, как указывалось в гл. 3, уровень Ферми везде одинаков, а распределение электронов по энергетическим состояниям описывается равновесной функцией Больцмана (или, более точно, функцией Ферми–Дирака (3.3))

где E – полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий; g – фактор вырождения уровня.

При наличии внешнего поля или градиента концентрации носители заряда находятся в неравновесных условиях. В квазиклассическом приближении для электронов в отсутствие равновесия вводится неравновесная функция распределения f ( px, py, pz , x, y, z, t) , зависящая как от энергии частиц (т. е.

от импульса p ), так и от координаты r и времени t [3]. Ее смысл заключается в том, что выражение

f ( px, py , pz , x, y, z, t)dpxdpydpzdxdydz f ( p, r, t)d pd r

53

определяет число электронов в момент времени t в объеме d r dxdydz вокруг точки r и с импульсами между p и p dp . Здесь d p dpxdpydpz –

элемент объема в пространстве импульсов.

Задачей данной главы является вывод кинетического уравнения Больцмана, который будет описывать процесс изменения неравновесной функции распределения f ( p, r, t) под воздействием различных вынуждающих причин. Искомое уравнение можно символически записать в виде

где первый (диффузионный) член отражает изменение неравновесной функции распределения электронов за счет градиента температуры и концентрации (если они вызываются внешними действующими на систему факторами), второй (полевой) – ее изменение под действием внешних электромагнитных полей, третий (столкновительный) – изменение из-за рассеяния движущихся электронов на колебаниях и несовершенствах кристаллической решетки, четвертый (генерационно-рекомбинационный) – учитывает процессы генерации и рекомбинации носителей заряда.

Движущаяся частица непрерывно изменяет свои координаты и значение своего импульса. Универсальным способом описания движения частицы (или системы частиц) в физике является использование фазового пространства. Для одиночной частицы – это шестимерное пространство координат и

импульсов px , py , pz . В определенный момент времени частица характеризу-

ется точкой в фазовом пространстве, а само движение во времени описывается траекторией.

Для системы, состоящей из N частиц, вводится 6N-мерное фазовое пространство. Если частицы занимают объем V, а их импульс может принимать все значения от нуля до p, тогда объем соответствующего фазового про-

странства определяется как 4 p3V 3 .

Если для классической частицы ее координаты и проекции импульса изменяются непрерывно, то для квантовых частиц дело обстоит иначе. В соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга ( x px h ) фазовое пространство микрочастиц квантуется и за элементарную ячейку фазового

пространства принимается объем, равный h3.

54

ствия внешних сил. Но, с другой стороны, изменение количества электронов в элементе объема фазового пространства d r d k , происходящее за время от

Выражение (4.5) равно сумме выражений (4.3) и (4.4). Сократив на d kd rdt 4 3 и опустив аргументы функции, получим уравнение, связы-

вающее изменение во времени неравновесной функции распределения и вынуждающих это изменение факторов:

Для завершения построения кинетического уравнения отметим, что кроме указанных причин число электронов в элементе объема фазового пространства d rd p кристалла может меняться в результате взаимодействия

движущихся носителей заряда с тепловыми колебаниями и другими локальными нарушениями периодичности поля кристаллической решетки.

Типичное время взаимодействия частицы с неоднородностью решетки очень мало, и за это время ее координата изменяется незначительно, поэтому можно рассматривать только переход электрона из состояния, описываемого координатами r, k , в состояние с координатами r, k . Этот процесс носит

С другой стороны, имеет место обратный процесс рассеяния электронов из состояния k в состояние k , который можно описать как

Согласно принципу микроскопической обратимости вероятности прямых и обратных переходов равны: W k, k W k ,k . Следовательно, изме-

нение количества электронов в элементе объема фазового пространства

нами в элементе объема фазового пространства d r d p за время dt в резуль-

тате рассеяния, необходимо учесть все возможные k , для этого проинтегрируем (4.9) по объему зоны Бриллюэна:

Теперь с учетом выведенного слагаемого, описывающего рассеяние электронов в процессе движения (он называется интегралом столкновений), кинетическое уравнение для описания изменения со временем неравновесной функции распределения (4.6) можно переписать в виде

Уравнение (4.11) называется кинетическим уравнением Больцмана.

Сравним это выражение с его символической записью (4.1):

ем внешнего электрического или магнитного поля;

58

движущихся электронов на колебаниях и несовершенствах кристаллической решетки.

Последнюю составляющую ft ген-рек обсудим в гл. 6, посвященной ге-

нерации и рекомбинации носителей заряда.

Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана описывает эволюцию неравновесной функции распределения f k,r, t электронов по состоя-

ниям в фазовом пространстве, координатами которого являются компоненты векторов r и k . Заметим, что при выводе кинетического уравнения Больцмана принимались следующие ограничения:

1)имеет место изотропный закон дисперсии (в равновесии носители заряда находятся в центре зоны Бриллюэна);

2)рассеяние носителей заряда носит упругий характер (энергия носителя заряда не меняется).

Кинетическое уравнение (4.11) написано для случая, когда имеются носители заряда только одного типа. При наличии нескольких типов носителей (электроны и дырки, «легкие» и «тяжелые» дырки) необходимо ввести свою неравновесную функцию распределения для каждого типа. Соответственно, возникает система связанных кинетических уравнений.

Если рассматриваемый кинетический процесс стационарен (неизменный во времени ток), то слагаемые кинетического уравнения (4.11) оказываются не зависящими от времени и df dt 0 . Таким образом, изменение

неравновесной функции распределения, вызванное движением носителей заряда и действием на них внешних сил, полностью компенсируется процессами рассеяния электронов на неоднородностях решетки.

Кинетическое уравнение, выведенное для произвольных неравновесных условий, сохраняет силу и в условиях термодинамического равновесия, когда на электроны не действуют внешние поля. Тогда из (4.10) следует f0 k f0 k . В этом случае уровень Ферми EF характеризуется одина-

ковым положением во всех частях системы, обменивающейся электронами. В термодинамическом равновесии распределение электронов по состояниям описывается равновесной функцией Ферми–Дирака f0 E , а свойства си-

стемы не зависят от механизмов рассеяния носителей заряда [4].

59

4.2. Приближение времени релаксации. Подвижность носителей заряда

Кинетическое уравнение Больцмана является основой для анализа различных неравновесных процессов в полупроводниках, к которым относятся электропроводность, эффект Холла, термоэлектрические, фотоэлектрические, гальваномагнитные, магнитоэлектрические и другие эффекты. Для получения количественного решения необходимо, во-первых, определить граничные условия для интегродифференциального уравнения, а также конкретизировать вероятности в столкновительном интеграле (4.10). В общем случае это является очень трудной задачей, и поэтому применяются различные приближения.

Предположим, что в некоторый момент времени t 0 на систему перестали действовать внешние силы. Тогда в результате соударений она постепенно приходит в состояние, описываемое равновесной функцией распределения f0 .

Если отклонение распределения носителей заряда от равновесного состояния невелико, можно положить, что скорость изменения функции распределения вследствие соударенийпропорциональна величинесамогоотклонения:

Это приводит к экспоненциальному решению, описывающему релаксацию неравновесной функции распределения в равновесное состояние, описываемое функцией f0 :

f f0 f f0 exp t .

Данный метод решения кинетического уравнения носит название приближения времени релаксации. Выключение внешнего поля понадобилось здесь лишь для пояснения физического смысла вводимой постоянной времени релаксации . На самом деле время релаксации определяет процессы рассеяния и при наличии внешних полей. Несмотря на простоту модели, уравнение (4.12) на практике довольно точно описывает множество кинетических явлений, где столкновения электронов с различными неоднородностями являются упругими (или почти упругими). В связи с этим для стационарного случая кинетическое уравнение Больцмана обычно используют в виде

v r f 1 Fвнеш k f f kf0 .

Соотношение равновесной и неравновесной функций распределения можно проиллюстрировать с помощью рис. 4.3. В равновесии функция

60