Методичка Зубкова

5.10.Контрольные вопросы

1.Что представляет собой акт рассеяния носителя заряда?

2.Что такое рассеяние «на динамических дефектах»?

3.Объясните термин «деформационный потенциал».

4.Каково различие между понятиями «время релаксации носителя заряда» и «время релаксации тока»? Какой из этих параметров в общем случае определяет электропроводность полупроводника?

5.В чем особенность рассеяния носителей заряда в металлах и вырожденных полупроводниках?

6.Какие механизмы рассеяния превалируют в алмазоподобных полупроводниках при высоких температурах; при низких температурах?

7.Какой механизм рассеяния носителей заряда обладает анизотропией?

81

6.НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА

ВПОЛУПРОВОДНИКАХ. ГЕНЕРАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

6.1.Общие представления о неравновесных носителях заряда

Равновесные носители заряда. В однородном невырожденном полупроводнике в состоянии термодинамического равновесия концентрации равновесных электронов n0 и дырок p0 находятся из распределения Ферми–

Дирака (3.10), (3.11):

n0 NC exp EF EC , kBT

p0 NV exp EV EF . kBT

Данные равновесные концентрации определяются конкуренцией установившихся процессов генерации и рекомбинации свободных носителей заряда, что, в свою очередь, является следствием общего в физике принципа детального баланса. В условиях термодинамического равновесия существует только тепловая генерация носителей заряда, скорости которой (т. е. количество носителей, образующихся в единицу времени в единице объема полупроводника) обозначим как Gn0 и Gp0 для электронов и дырок соответственно.

Скорости рекомбинации электронов Rn и дырок R p (т. е. число носителей за-

ряда, рекомбинировавших в единицу времени в единице объема), в свою очередь, определяются вероятностью рекомбинации, которая обратно пропорциональна времени жизни (τn или τр) и прямо пропорциональнаих концентрации:

Для различных механизмов рекомбинации τn и τр могут различным об-

разом зависеть от концентрации носителей заряда.

В условиях термодинамического равновесия концентрации носителей заряда неизменны со временем и определяются равновесными значениями n0

и p0 , следовательно, скорость рекомбинации равна скорости генерации и

Полученные выражения связывают скорость тепловой генерации со значением времени жизни носителей заряда и их равновесной концентрацией.

82

Неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми. Наличие до-

статочно сильных внешних воздействий (облучение светом, электронами или другими частицами высоких энергий, существование сильных электрических полей, инжекция носителей заряда при наличии барьера Шотки или р–n-пе- рехода) приводит к генерации в полупроводнике дополнительных (неравновесных) носителей заряда. Изменение концентрации носителей заряда будет определяться соотношением скорости генерации G (суммы тепловой равновесной G0 и за счет внешних сил Gвнеш ) и скорости рекомбинации R :

истечении времени t n , p установятся стационарные концентрации избыточныхносителейзаряда, которыелегкоопределитьизусловия dndt dpdt 0 :

При наличии внешних источников генерации (например, оптической) неравновесные носители заряда могут приобретать кинетическую энергию, значительно превышающую среднюю тепловую энергию равновесных частиц. Однако в результате рассеяния на дефектах решетки эти носители заряда довольно быстро передают ей свою избыточную энергию, поскольку они обладают тепловой скоростью ~107 см/c и длиной свободного пробега в районе десятков нанометров. За время меньше 10–11 с эти избыточные электроны приобретут температуру кристаллической решетки и станут неотличимы от равновесных. Если при этом концентрация избыточных неравновесных носителей заряда мала по сравнению с равновесной, то передача ими кристаллу кинетической энергии практически не изменит энергию решетки, а следовательно, и температуру кристалла, поэтому не изменится и концентрация равновесных носителей заряда.

83

Стационарную концентрацию неравновесных носителей заряда в каждой зоне можно характеризовать с помощью формул, аналогичных (3.7), (3.9):

n NCF1/2 EFn EC ,kBT

p NVF1/2 EV EFp ,kBT

путем введения квазиуровней Ферми для электронов EFn и дырок EFp , каж-

дый из которых смещен по направлению к своей разрешенной зоне.

При отсутствии вырождения, учитывая (3.10), (3.11), можно записать:

Произведение концентраций электронов и дырок в неравновесном состоянии отличается теперь от его значения для равновесного состояния, т. е.

закон действующих масс n0 p0 ni2 не соблюдается:

При этом расстояние между квазиуровнями Ферми EFn EFp характеризует степеньотклонениясистемыотсостояниятермодинамическогоравновесия:

6.2. Основные уравнения, характеризующие поведение неравновесных носителей заряда

Кинетическое уравнение Больцмана используется для нахождения неравновесной функции распределения f (r,k, t) носителей заряда по энергиям в случае, когда исследуемая система выведена из состояния термодинамического равновесия за счет внешних факторов:

dfdt v r f 1 Fвнеш k f J f .

84

В качестве внешних факторов могут выступать внешние силы или вызванный извнеградиент концентрации носителей заряда или градиент температуры.

При анализе кинетических процессов в полупроводниках следует различать следующие временные параметры.

Время жизни – среднее время жизни носителей заряда в кристалле до момента рекомбинации друг с другом или с дефектом решетки. За время жизни избыточные носители, диффундируя от места генерации, преодолевают в среднем расстояние Lдиф, которое называется диффузионной длиной.

Время релаксации – характеристика скорости возвращения неравновесной функции распределения в равновесное состояние; используется при количественном описании столкновительных релаксационных процессов. Среднее расстояние, проходимое носителем заряда между двумя последовательными актами рассеяния, называется длиной свободного пробега частицы.

В случае когда время жизни больше времени релаксации, генерационнорекомбинационными процессами при решении кинетического уравнения можно пренебречь. Когда время релаксации много меньше времени жизни, пренебрегают столкновительными процессами.

Уравнение непрерывности. Динамика изменения концентрации неравновесных носителей заряда во времени при наличии генерации и рекомбинации в полупроводнике, а также при протекании электрического тока описывается уравнением непрерывности. Это уравнение показывает, как и по каким причинам изменяется концентрация неравновесных электронов и дырок со временем. Такими причинами могут быть вызванный внешними силами ток носителей заряда, а также их генерация и рекомбинация:

где jn – плотность тока носителей заряда (рассмотрение относится к электронам), а скорости Gn и Rn определяются выражениями (6.1).

По своему физическому смыслу уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения количества частиц. Оно уже использовалось при выводе (6.3). В отличие от кинетического уравнения Больцмана, которое определяет динамику изменения распределения электронов и дырок по состояниям в k- пространстве, уравнения непрерывности типа (6.5) определяют динамику пространственного распределения концентрации носителей заряда.

85

Ток носителей заряда возникает, как уже отмечалось, вследствие приложенных внешних полей E либо из-за градиента концентрации частиц. Поэтому плотность тока, входящая в (6.5), включает дрейфовый и диффузионный компоненты:

где n qn n – проводимость; Dn – коэффициент диффузии соответствующих носителей заряда; n – их подвижность.

Заметим, что в равновесии Rn0 Gn0 . Тогда (6.5) можно переписать

относительно составляющей, отвечающей за генерацию и рекомбинацию избыточных носителей заряда. В общем случае при анализе кинетических явлений необходимо рассматривать два уравнения непрерывности – для электронов и дырок:

Если левая часть уравнений (6.7) отлична от нуля, то они описывают динамические концентрации неравновесных носителей заряда. В такой форме они используются для анализа частотных и переходных характеристик полупроводниковых приборов.

Если левая часть уравнений (6.7) равна нулю, то они описывают стационарные значения концентрации неравновесных носителей заряда, например, при расчете статических вольт-амперных характеристик приборов.

В гл. 3 при анализе заполнения частицами разрешенных состояний была введена эффективная масса плотности состояний, которая учитывала многодолинную зонную структуру полупроводника. При описании транспортных свойств носителей заряда в кристалле применяется аналогичный параметр, учитывающий реальную зонную структуру полупроводника, – эффективная

масса проводимости m* .

При анизотропном квадратичном законе дисперсии зоны проводимости непрямозонных полупроводников

где m* и m* – продольная и поперечная эффективные массы электрона соот-

ветственно. В случае изотропного квадратичного закона дисперсии m* n mn* . Для вырожденных валентных зон, вблизи экстремумов которых сохраняется квадратичная зависимость E k , эффективная масса проводимости для

дырок имеет вид

где m*рl , m*рh – эффективные массы легких и тяжелых дырок в валентной

зоне.

Введение эффективной массы проводимости позволяет сохранить простой вид выражения (4.13) для подвижности в приближении времени релак-

сации для полупроводников со сложной структурой зон: n q m* .

Уравнение Пуассона. Максвелловское время релаксации. Данное уравнение устанавливает связь между параметрами электрического поля и зарядами подвижных носителей, ионизованных примесей и др. При ненулевой температуре и в результате внешних воздействий часть атомов, которые составляют полупроводниковый кристалл, ионизируется, а часть остается электрически нейтральной. Поэтому в полупроводнике всегда имеются подвижные носители заряда, а также неподвижные отрицательные и положительные ионы. Подвижные носители заряда создают электрический ток, неподвижные ионы формируют электрическое поле; влияние нейтральных атомов находит отражение в числовом значении электрофизических параметров полупроводниковой структуры. Результирующая объемная плотность заряда

q p n ND NA ,

где q – заряд электрона; р – концентрация дырок; n – концентрация электронов; ND – концентрация ионизованной донорной примеси; NA – концентра-

ция ионизованной акцепторной примеси.

Уравнение Пуассона связывает объемную плотность заряда и напряженность электрического поля E :

87

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Рассмотренное уравнение Пуассона является одним из важнейших урав-

нений физики твердого тела. Оно не зависит от частных модельных представлений и входит в систему фундаментальных уравнений Максвелла.

Воспользовавшись известной связью между напряженностью электрического поля E и электростатическим потенциалом φ

E grad ,

получим вид уравнения Пуассона, обычно используемый при расчетах в физике полупроводников:

В термодинамическом равновесии встроенных полей нет, следовательно: div E 0 и 0 .

Для диэлектрических областей при отсутствии встроенного заряда справедливо уравнение Лапласа:

2 0.

Введем максвелловское время релаксации. Пусть в некотором ограниченном объеме однородного полупроводника в определенный момент времени удалось сосредоточить избыточный объемный заряд подвижных носителей (например, световым импульсом). Введенный заряд порождает электрическое поле E , которое связано с зарядом ρ уравнением Пуассона (6.8). Электрическое поле вызывает ток проводимости (6.6) jn nE , в результате которого избыточный заряд за короткое время покидает объем, в котором первоначально был сосредоточен. Такое явление «рассасывания» заряда свободных носителей под действием собственного электрического поля получило название диэлектрической, или максвелловской, релаксации.

Для нахождения времени релаксации запишем уравнение непрерывности, в котором пренебрежем генерацией и рекомбинацией (эти процессы оказываются слишком медленными по сравнению с рассматриваемым):

dndt 1q div n E

88

Процесс захвата электрона на глубокий уровень количественно описывается подобно рассмотренному ранее рассеянию носителя заряда на дефекте (см. 5.5) путем введения сечения захвата электронов n и дырок p .

Пусть электроны с концентрацией n хаотически двигаются с тепловой скоростью vт в полупроводнике, содержащем глубокие центры с концентрацией Nt (в единице объема). Если nt из них заполнены электронами, тогда число электронов, захваченных Nt nt незаполненными состояниями в последующий короткий промежуток времени t , есть

nt n Nt nt nvт t ,

а вероятность захвата, отнесенная к одному незаполненному центру, определяется как [9]

Заметим, что в качестве vт в этих формулах следует подставлять среднюю

тепловую скорость электронов или дырок соответственно.

Заполнение глубокой ловушки определяется конкуренцией рассмотренных четырех процессов захвата и эмиссии. Электроны испускаются, a дырки захватываются на nt состояний, занятых электронами, в то время как дырки

эмитируются, а электроны захватываются на Nt nt состояний, незапол-

ненных электронами. Суммарная скорость изменения заполнения электронами ловушки есть

dndtt cn ep Nt nt en cp nt.

Когда Nt достаточно мало по сравнению с концентрацией примесиND NA , влияние этих процессов на изменение концентрации свободных носителей заряда мало, и cn и c p даются выражениями (6.9), (6.10) с неизменными n и p.

90