Лабораторные работы по курсу общей физики

7

4.Построить график зависимости рассчитанных теоретически и определенных экспериментально периодов колебаний от емкости на одних и тех же осях. В каких осях строить график решить самостоятельно.

сопротивлений Rk . Оценить стандартное отклонение σ λ .Построить график зависимости λ от R (полного сопротивления контура).

6.Вычислить логарифмический декремент для контура по формуле (12) при тех же значениях сопротивления R, что и в п.5.

7.Полученные в п.6 значения нанести на график, простроенный в соответствии с п.5.

8.Вычислить критическое сопротивление для контура при одном из значений емкости конденсатора. Убедиться экспериментально, что при таком значении сопротивления колебания прекращаются.

9.Сделать вывод о степени соответствия модели колебательного контура с идеальными элементами R, L и C нашему реальному контуру.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются свободными? Получите дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания в колебательном контуре.

2. Как выглядит решение дифференциального уравнения для случая затухающих колебаний? Чему равны период колебаний Т и коэффициент затухания β ? Как эти величины выражаются через параметры контура L,

C и R ?

3.Что такое логарифмический декремент? Как он выражается через параметры контура? Соотношение между λ и β .

4.Что такое критическое сопротивление? Его выражение через параметры контура.

5.Как с помощью осциллографа измерить период колебаний T ? В каком случае период колебаний можно считать равным 2π LC ?

6.Как с помощью осциллографа измерить логарифмический декремент?

7.Каким требованиям должны удовлетворять катушка индуктивности и конденсатор, чтобы соответствующий контур наиболее точно описывался дифференциальным уравнением (3) ?

Литература

1.Савельев И. В. Курс общей физики.- Кн2.- М.: Наука. Физматлит, 1998.- § 13.3

2.Трофимова Т. И. Курс физики.- М.: Высшая школа , 1997.-§ 143, 146.

3.Б.М Детлаф А.А.,Яворский. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1999.-§ 28.1

1

Лабораторная работа № 23 а

Вынужденные колебания в колебательном контуре

Цель работы: Экспериментально исследовать зависимость напряжения на конденсаторе в электромагнитном колебательном контуре от частоты последовательно включенной переменной Э.Д.С. Определить резонансную частоту, сравнить ее с расчетной.

Теоретическое введение

Рассмотрим схему из последовательно соединенных конденсатора, катушки индуктивности, резистора и генератора переменной ЭДС (рис.1).

EL = - L dI/dt:

Рис.1

Выражая UR , UC и ЕL через заряд конденсатора q и параметры контура L, C и R (полное сопротивление контура), получаем дифференциальное уравнение

описывающее вынужденные колебания.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что при t » β-1, где β = R/2L, решение уравнения (2) представляет собой колебания с частотой ω:

qm можно найти из следующих соображений. В левой части уравнения (2) стоит сумма трех колебаний. Результат сложения можно найти, используя метод векторных диаграмм [1]. Для этого запишем явный вид каждого из этих трех колебаний:

q/C = (qm/C)cos ωt

R(dq/dt) = - Rqmω sin ωt = Rqmω cos(ωt+π/2)

L(d2q/dt2) = - ω2Lqmcos ωt = ω2Lqmcos(ωt+π)

2

и сопоставим каждому колебанию вектор с длиной равной амплитуде соответствующего колебания. Начальные фазы колебаний определяют ориентацию векторов относительно горизонтальной оси (см.рис.2).

Rqmω Em

Из рисунка очевидно, что ((qm/C) - ω2Lqm)2 + (Rqmω)2 = (Em)2. Отсюда

находим

Выражение для UCm, учитывая связь ω = 2πν, удобно переписать как функцию частоты ν, измеряемой в герцах:

Из формулы (4) видно, что амплитуда напряжения UCm на конденсаторе зависит от соотношения частот: частоты собственных колебаний ν0 и частоты колебаний вынуждающей ЭДС ν. График функции UCm(ν) при нескольких значениях сопротивления R показан на рисунке 3. Максимальное значение UCm(ν) достигается при некоторой частоте νР , называемой резонансной. Найти νР можно, исследуя выражение (4) амплитуды вынужденных колебаний на максимум (можно исследовать на минимум подкоренное выражение, стоящее в знаменателе). Найдя резонансную частоту νР , нетрудно убедиться, что в общем случае она не равна собственной частоте ν0, а тем меньше ее, чем больше коэффициент затухания.

3

Рис.3.

Описание установки

В лабораторной установке (смотри схему на рис.1) напряжение на конденсаторе измеряется вольтметром в положении 2 переключателя; в положении 1 вольтметр подключается непосредственно к генератору, являющемся источником переменной ЭДС регулируемой частоты. Вольтметр, обладающий большим внутренним сопротивлением, позволяет измерять переменные напряжения в широком интервале частот. Чтобы исключить влияние внутреннего сопротивления генератора Rг на измеряемые величины напряжений, необходимо выполнение соотношения Rг < R. В этом случае, в положении 1 переключателя показания вольтметра практически соответствуют величине Em/ 2 .

Задание к работе

1)Ознакомиться в лаборатории с инструкцией по пользованию приборами установки.

2)Рассчитать νР и ее погрешность по исходным данным установки.

3)При заданных значениях R, изменяя частоту выходного напряжения ге- нератора и поддерживая постоянное значение амплитуды его напряжения (по указанию преподавателя), снять частотные характеристики напряжения на конденсаторе. Особо тщательно проводить измерения вблизи резонансных частот (для этого, используя расчеты п.2, вначале, определить экспериментально эти частоты грубо).

4)В общих осях построить графики зависимости UCm от частоты для различных R. Определить по графикам UCm(ν) резонансные частоты. Сравнить их с расчетными с учетом погрешностей.

5)По графикам UCm(ν), пользуясь формулой (UCm)max = QEm, найти добротность Q контуров при использованных значениях R.

6)Сделать выводы относительно: изменения νР и Q в зависимости от сопротивления, включенного в контур; высоты максимумов кривых при

4

разных сопротивлениях; а также совпадения между между резонансными частотами, найденными экспериментально и вычисленными.

Контрольные вопросы

1)Какие колебания называются вынужденными?

2)Что такое резонанс напряжений на конденсаторе в контуре?

3)Нарисуйте принципиальную схему установки. Для чего необходимо

регулярно проверять удерживается ли первоначально заданное выходное напряжение генератора?

4)Напишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Запишите и проанализируйте частное решение этого уравнеия.

5)Получите выражение для амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе (выражение (4)).

6)Найдите резонансную частоту для UCm.

7)Получите выражение для амплитуды колебаний тока в цепи и найдите резонансную частоту для ICm.

8)Как вычислить ω0 и ν0?

9)Какой график вы будете строить в работе? Какой он будет иметь вид? Проходит ли он через начало координат? Как сдвигается резонансная частота при увеличении сопротивления контура?

10)Что такое добротность Q колебательного контура? Покажите, что Q

связана с UCm формулой (UCm)max ≈ QEm , справедливой при больших значениях Q.

11)Получили ли вы то, что ожидали?

12)Приведите примеры применения резонанса в технике.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики.- М.:Наука, 1998

1

Лабораторная работа №23 б

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы – экспериментальное исследование частотной зависимости

напряжения на конденсаторе при вынужденных колебаниях в колебательном контуре. Определение резонансной частоты, полосы пропускания и добротности колебательного контура. Сравнение полученных результатов с рассчитанными теоретически.

Теоретическое введение

Рассмотрим колебательный контур, схема которого показана на рис. 1.

Рис. 1

Будем считать, что контур состоит из идеальных элементов R, L и C .

Последовательно с этими элементами включен генератор гармонических электрических колебаний с э.д.с.

Внутреннее сопротивление генератора будем считать настолько малым по сравнению с сопротивлением резистора R , что им можно пренебречь.

Энергия электромагнитного поля в контуре

Электромагнитная энергия переходит в джоулево тепло. При включенном генераторе, когда E ¹ 0 , энергия от генератора передается контуру и идет на

этом случае уже не являются свободными и называются вынужденными.

2

Из выражения (4) с учетом (1) и (2) можно получить дифференциальное

В этом уравнении Lq&& - напряжение на катушке индуктивности, Rq& -

напряжение на резисторе, Cq - напряжение на конденсаторе. Уравнение (5)

выражает второе правило Кирхгофа для последовательного колебательного контура.

После включения генератора в колебательном контуре сначала возникает так называемый переходной режим вынужденных колебаний. В

этом режиме в колебательном контуре одновременно совершаются колебания двух типов. Первый тип – это свободные затухающие колебания,

частотой вынуждающей силы (с частотой ω генератора). При работе в этом

затухания , колебания первого типа практически исчезнут и контур будет работать в режиме установившихся вынужденных колебаний. В этом

режиме мощность потерь энергии в контуре полностью компенсируется подводимой электрической мощностью. Энергия электромагнитного поля и амплитуда колебаний в контуре со временем не изменяются. В настоящей работе будут рассматриваться колебания именно в этом, установившемся режиме. Решение уравнения (5) в этом случае должно иметь вид:

подстановка выражения (6) в дифференциальное уравнение обращает это уравнение в тождество.

5

При β 2 << ω02 для логарифмического декремента получим выражение

λ= 2πβ ,а для добротности –

ω0

Таким образом, для того, чтобы экспериментально определить добротность