Коробов Отчет 1
.docxМинистерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. Проф. М. А. Бонч-Бруевича» (СПбГУТ)
Факультет Информационных технологий и программной инженерии
Кафедра Программной инженерии
Лабораторная работа 1
По дисциплине: Математические методы и алгоритмы функционирования киберфизических систем
Вариант №7
Выполнил студент:
Яковлев М. А.
ИКПИ-32
Приняла работу:
Коробов С. А.
Дата выполнения:
«10» сентября 2026 г.
Санкт-Петербург
2026 г.
Постановка задачи
Есть техническое устройство (ТУ), которое может отказывать, пока находится в режиме готовности. Чтобы вовремя найти отказ и восстановить ТУ, проводят плановый контроль:
· каждые 500 часов (длится 10 ч);
· во время контроля ТУ считается готовым (не выводится из строя).
Если ТУ отказало, его восстанавливают (в среднем 25 ч), а сразу после восстановления опять проводят контроль (такой же, как плановый). Контроль с вероятностью 0,05 он может ложно признать исправное ТУ неисправным (это приведёт к лишнему восстановлению). Надёжность ТУ: среднее время до отказа 700 ч, среднее время восстановления 25 ч.
Задача:
1. Построить математическую модель этого процесса.
2. Найти вероятность того, что ТУ находится в работоспособном состоянии.
3. Исследовать, как эта вероятность меняется при изменении: периодичности контроля (например, реже/чаще), надёжности ТУ (средней наработки на отказ).
Список состояний:
1. S1 — Работоспособен, контроль не идёт
2. S2 — Неработоспособен, отказ ещё не выявлен
3. S3 — Работоспособен, идёт плановый контроль
4. S4 — Неработоспособен, идёт восстановление
5. S5 — Работоспособен, идёт контроль после восстановления (по заданию)
6. S6 — Неработоспособен, идёт контроль для выявления отказа
Ход работы
На первом этапе была разработана концептуальная модель процесса функционирования ТУ. Выделены шесть состояний: S1 — работоспособное состояние, контроль не проводится; S2 — неработоспособное состояние, отказ скрыт (не выявлен); S3 — работоспособное состояние, проводится плановый контроль; S4 — неработоспособное состояние, выполняется восстановление; S5 — работоспособное состояние, проводится контроль после восстановления; S6 — неработоспособное состояние, проводится контроль для выявления отказа. На основании анализа возможных переходов построен граф состояний, который учитывает отказы, плановые проверки, восстановление, повторный контроль после ремонта и возможность ложного срабатывания средств контроля.
Р
исунок
1: Граф
Для количественного описания модели определены интенсивности переходов. Интенсивность отказа из работоспособного состояния в неработоспособное: λ12 = 1/T0. Интенсивность начала планового контроля: λ13 = 1/τ.
Интенсивность перехода из состояния скрытого отказа в состояние контроля:
λ26 = [1/λ12 – τ·e^(–λ12·τ)/(1 – e^(–λ12·τ))]^(–1).
Интенсивности, связанные с контролем: λ31 = (1 – α)/Tк (успешное завершение контроля), λ34 = α/Tк (ложная тревога), λ32 = λ12 (отказ во время контроля).
Аналогично для контроля после восстановления: λ51 = (1 – α)/Tк, λ54 = α/Tк, λ52 = λ12.
Интенсивность окончания восстановления: λ45 = 1/Tв.
Интенсивность окончания контроля при выявленном отказе: λ64 = 1/Tк.
На втором этапе составлена система уравнений Колмогорова для стационарных вероятностей состояний. Приравняв производные к нулю и добавив нормировочное условие p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1, получили систему линейных алгебраических уравнений, которая решена численно. В результате найдены стационарные вероятности: p1 = 0,704842; p2 = 0,230026; p3 = 0,013898; p4 = 0,029261; p5 = 0,011540; p6 = 0,010433. Вероятность нахождения ТУ в работоспособном состоянии определялась как сумма вероятностей состояний, в которых ТУ сохраняет работоспособность: P_раб = p1 + p3 + p5. Подстановка числовых значений дала P_раб = 0,704842 + 0,013898 + 0,011540 = 0,730280.
Рисунок
2: Расчитанные вероятности
Для анализа влияния периодичности контроля варьировался параметр τ в диапазоне от 100 до 2000 ч. При каждом значении τ пересчитывались интенсивности λ13 и λ26, решалась система уравнений и вычислялась P_раб. Установлено, что при увеличении τ (то есть при более редких проверках) вероятность работоспособного состояния уменьшается. Это объясняется тем, что отказ дольше остаётся скрытым, увеличивая время пребывания в состоянии S2.
Рисунок
3: График вероятности работоспособности
при изменении периодичности контроля
Для анализа влияния надёжности ТУ варьировалась средняя наработка на отказ T0 в диапазоне от 200 до 2000 ч. При увеличении T0 вероятность P_раб возрастает, так как снижается интенсивность отказов λ12 = 1/T0. Полученные зависимости подтверждают физический смысл модели и согласуются с теоретическими представлениями о надёжности технических систем.
Рисунок 4: График зависимости от времени работы до отказ
Программа
Рисунок 5: Код программы
Вывод
Таким образом, в ходе работы построена аналитическая модель поддержания ТУ в готовности, получена количественная оценка вероятности работоспособного состояния, а также исследованы зависимости этой вероятности от ключевых параметров системы контроля и надёжности.