3.2. Примеры спектрального анализа
Входной сигнал представим в виде вектора, элементы которого равны значениям функции, являющейся суммой двух синусоид с частотами 5 и 12 Гц. Найти Фурье-изображение этого сигнала и вывести графики входного процесса и модуля его Фурье-изображения:
>> t=0:0.001:2;
>> x=sin(2*pi*5*t)+cos(2*pi*12*t);
>> plot(t,x),grid;
>> title('input');
>> xlabel('t, c');
>> ylabel('X(t)')
>> y=fft(x);
>> a=abs(y);
>> plot(a);grid;
>> title('fourier');
>> xlabel('number');
>> ylabel('absF(X(t))')
Теперь осуществим обратное преобразование с помощью функции ifft:
>> z=ifft(y);
>> plot(t,z), grid;
>> title('inverse');xlabel('number');
>> xlabel('t, c');
>> ylabel('Z(t))')
Как следует из последнего рисунка, воспроизведенный процесс в точности совпадает с исходным.
Из выражений (4) можно заметить:
- номер m соответствует моменту времени tm , в который измерен входной сигнал x(m);
- номер k – это индекс значения частоты fk, которому соответствует найденный элемент y(k) дискретного преобразования Фурье;
- для перехода от индексов к временной и частотной областям, необходимо знать значение шага h дискрета времени, через который измерен входной сигнал x(t), и промежуток T времени, на протяжении которого он измерен; тогда дискрет по частоте в изображении Фурье определяется выражением
Df=1/T,
а диапазон изменения частоты – выражением
F=1/h.
Так в нашем примере Df=0.5, F= 1000.
- Фурье - изображение определяется функцией fft только для положительных частот в диапазоне от 0 до F, что неудобно для построения графиков Фурье – изображения от частоты; более удобным является переход к вектору Фурье – изображения, определенному в диапазоне частот [-F/2 - F/2].
Сформируем для данного примера массив частот и выведем график с аргументом частотой
>> f=0:0.5:1000;
>> plot(f,a)'grid;
>> plot(f,a);grid;
>> title('F(x)');xlabel('friquency, Hz');
>> ylabel('abs(F(X))')
На рисунке трудно различить частоты (5 и 12 Гц), с которыми колеблется входной сигнал.
Для установления истинного спектра входного сигнала необходимо вначале преобразовать полученный вектор y Фурье – изображения с помощью процедуры fftshift. Она предназначена для формирования нового вектора z из заданного у путем перестановки второй половины вектора у в первую половину вектора z
>> f1=-500:0.5:500;
>> v=fftshift(y);
>> a=abs(v);
>> plot(f1(970:1030),a(970:1030));grid;
>> title('F/N');
>> xlabel('friquency, Hz');
>> ylabel('abs(F(X))/N')
Из графика видно, что в спектре входного сигнала есть две гармоники- 5 и 12 Гц.
Неудобным является то, что по графику невозможно определить амплитуду этих гармоник. Чтобы сделать это, необходимо весь вектор y разделить на число его элементов N:
>> N=length(y);
>> a=abs(v)/N;
>> plot(f1(970:1030),a(970:1030));grid;
>> title('F/N');
>> xlabel('friquency, Hz');
>> ylabel('abs(F(X))/N')
4. Задание на самостоятельную работу
4.1. Провести цифровую обработку сигналов системы.
На выходе системы измеряемый сигнал x(t) представляет собой сумму трех сигналов:
x(t) = x0(t) + x1(t) + xш(t),
где x0(t)=A0 sin[(2π/T0) t] - измеряемый (полезный) сигнал;
x1(t) = A1 sin[(2π/T1) t] – регулярный шум преобразователя;
xш(t) – шум измерений, с интенсивностью Aш.
Подобрать дискретный фильтр второго порядка вида (2) с параметрами Aф, ξф при условии, что период его собственных колебаний равен периоду колебаний полезного сигнала, а выделяемый сигнал максимально воспроизводит полезный сигнал.
Представить все соответствующие графики.
4.2. Сформировать случайный процесс из белого шума, используя формирующий фильтр второго порядка вида (2) с частотой собственных колебаний fфф и относительным коэффициентом колебаний затухания ξфф.
Представить все соответствующие графики.
4.3. Сформировать процесс на выходе системы следующего вида:
x(t) = x2(t) + x3(t) + x4(t),
где x2(t)=A2 sin[(2π*f2* t];
x3(t)=A3 sin[(2π*f3* t];
x4(t)=A4 sin[(2π*f4* t];
Выполнить спектральный анализ сигнала на выходе системы.
4.4. Исходные параметры для исследований для каждого варианта заданы в таблице:
4.5. Результаты исследований для отчета оформить в текстовом процессоре Word.
№ варианта |
Ts |
Фильтрация |
Формирование случайного процесса |
Спектральный анализ |
Примечание |
||||||||||||
A0 |
T0,с |
A1 |
T1 с |
Aш |
Aф |
ξф |
fфф,Гц |
ξфф |
A2 |
A3 |
A4 |
f2,Гц |
f3,Гц |
f4,Гц |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
1 |
0.01 |
1 |
2 |
10 |
1 |
5 |
1 |
0.05 |
5 |
0.05 |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
0.01 |
1 |
2 |
10 |
1 |
5 |
1 |
0.05 |
5 |
0.05 |
1 |
2 |
3 |
1 |
4 |
5 |
|
3 |
0.01 |
1 |
3 |
10 |
1 |
5 |
1 |
0.05 |
5 |
0.05 |
1 |
3 |
5 |
1 |
5 |
4 |
|
4 |
0.01 |
2 |
1 |
5 |
2 |
6 |
1 |
0.05 |
5 |
0.05 |
1 |
2 |
3 |
1 |
4 |
3 |
|
5 |
0.001 |
2 |
0.5 |
5 |
2 |
7 |
1 |
0.02 |
2 |
0.02 |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
6 |
|
6 |
0.001 |
2 |
0.5 |
5 |
2 |
8 |
1 |
0.02 |
2 |
0.02 |
1 |
3 |
5 |
1 |
2 |
5 |
|
7 |
0.001 |
3 |
1 |
15 |
1 |
5 |
2 |
0.02 |
2 |
0.02 |
2 |
4 |
7 |
2 |
1 |
4 |
|
8 |
0.001 |
3 |
0.5 |
15 |
1 |
5 |
2 |
0.02 |
5 |
0.02 |
2 |
4 |
8 |
2 |
0.5 |
3 |
|
9 |
0.001 |
3 |
0.5 |
15 |
1 |
5 |
2 |
0.01 |
5 |
0.01 |
2 |
5 |
9 |
2 |
3 |
2 |
|
10 |
0.001 |
0.9 |
1 |
10 |
2 |
5 |
1 |
0.01 |
5 |
0.01 |
1 |
2 |
3 |
1 |
4 |
4 |
|
11 |
0.002 |
0.9 |
2 |
10 |
2 |
6 |
1 |
0.05 |
5 |
0.05 |
1 |
2 |
3 |
1 |
5 |
5 |
|
12 |
0.002 |
0.9 |
2 |
10 |
2 |
7 |
1 |
0.05 |
2 |
0.05 |
1 |
3 |
5 |
1 |
4 |
4 |
|
13 |
0.002 |
0.75 |
3 |
5 |
1 |
8 |
1 |
0.05 |
2 |
0.05 |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
3 |
|
14 |
0.002 |
0.75 |
1 |
5 |
1 |
5 |
1 |
0.05 |
2 |
0.05 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
6 |
|
15 |
0.002 |
0.75 |
0.5 |
5 |
1 |
5 |
1 |
0.02 |
6 |
0.02 |
1 |
3 |
5 |
1 |
1 |
5 |
|
16 |
0.005 |
0.8 |
0.5 |
15 |
1 |
5 |
2 |
0.02 |
7 |
0.02 |
2 |
4 |
7 |
2 |
0.5 |
4 |
|
17 |
0.005 |
0.8 |
1 |
15 |
1 |
5 |
2 |
0.02 |
8 |
0.02 |
2 |
4 |
8 |
2 |
1 |
3 |
|
18 |
0.005 |
0.8 |
0.5 |
15 |
1 |
6 |
2 |
0.02 |
2 |
0.02 |
2 |
5 |
9 |
3 |
2 |
2 |
|
19 |
0.005 |
0.8 |
0.5 |
7.5 |
2 |
7 |
1 |
0.01 |
2 |
0.01 |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
|
20 |
0.005 |
1 |
1 |
7.5 |
2 |
8 |
1 |
0.01 |
2 |
0.01 |
1 |
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
|
21 |
0.005 |
1 |
2 |
7.5 |
2 |
5 |
1 |
0.05 |
6 |
0.05 |
1 |
1 |
4 |
1 |
1 |
4 |
|
22 |
0.005 |
1 |
2 |
7.5 |
1 |
5 |
1 |
0.05 |
7 |
0.05 |
1 |
1 |
4 |
2 |
0.5 |
3 |
|