Зависимость поведения от параметра
При
изменении значения параметра 
,
в системе наблюдается следующее
поведение.
Если
больше
0 и меньше 1, популяция в конце концов
вымрет, независимо от начальных условий.Если
больше
1 и меньше 2, численность популяции
быстро выйдет на стационарное значение 
,
независимо от начальных условий.Если
больше
2 и меньше 3, численность популяции точно
так же придёт к тому же стационарному
значению 
,
но вначале будет несколько колебаться
вокруг него. Скорость сходимости линейна
везде, кроме значения 
=3,
при котором она крайне мала, меньше
линейной.Если
больше
3 и меньше 
,
численность популяции будет бесконечно
колебаться между двумя значениями.Если
больше
3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то
численность популяции будет бесконечно
колебаться между четырьмя значениями.При значении
больше
3.54, численность популяции будет
колебаться между 8 значениями, потом
16, 32 и так далее. Длина интервала изменения
параметра, при котором наблюдаются
колебания между одинаковым количеством
значений, уменьшается по мере увеличения 
.
Отношение между двумя длинами смежных
интервалов стремится к константе
Фейгенбаума,
равной δ ≈ 4.669... Подобное поведение
является типичным примером каскада
бифуркаций удвоения
периода.При значении
приблизительно
равном 3.57, начинается хаотическое
поведение, а каскад удвоений заканчивается.
Колебания больше не наблюдаются.
Небольшие изменения в начальных условиях
приводят к несопоставимым отличиям
дальнейшего поведения системы во
времени, что является основной
характеристикой хаотического поведения.Большинство значений, превышающих 3.57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений
,
при которых система ведет себя регулярно,
обычно их называют «окнами периодичности».
К примеру, начиная со значения 
,
существует интервал параметров 
,
при котором наблюдаются колебания
между тремя значениями, а для больших
значений 
—
между 6, потом 12 и т. д. Фактически,
в системе можно найти периодические
колебания с любым количеством значений.
Последовательность смены количества
значений удовлетворяет порядку
Шарковского.При
>
4, значения отображения покидают интервал
[0,1] и расходятся при любых начальных
условиях.
Итог
вышеперечисленного приведен
на бифуркационной
диаграмме. По оси абсцисс
отложены значения параметра
,
а по оси ординат — принимаемые на
больших временах значения
.
Рис.3
Бифуркационная диаграмма логистического отображения
Структура
бифуркационной диаграммы самоподобна:
если увеличить область, к примеру, при
значении
=
3.82 в одном из трех ответвлений, то можно
увидеть, что тонкая структура этой
области выглядит, как искаженная и
размытая версия всей диаграммы. То же
самое верно для любой окрестности
нехаотических точек. Это пример глубокой
связи между хаотическими системами и
фракталами.
Аналитическое решение
Для 
точное
аналитическое решение выглядит следующим
образом:
