59. 60.61.

62. 63.. 64.

Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001.

65. 66.. 67.68..

69. Вычислить приближенно , взяв 3 первых члена разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить погрешность.

70. Найти 6 первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям:

.

71. Записать в виде степенного ряда частное решение дифференциального уравнения .

Записать в виде степенного ряда общее решение дифференциального уравнения.

72. (шесть первых членов)

73. . 74..

75. Найти 3 члена разложения в ряд частного решения уравнения

Ответы к задачам главы 12

1.[-1; 1] 2. (-1; 1) 3. 4. (-2;2) 5. 6.

7. 8.{0} 9. 10. 11. 12.

13.[-6;-4] 14. 15. 16.

17. 18. 19.

25. 26. 27.

28. . 29. 30.

31. a) б) 33.

34. 35.36.

37. 38.

39.

40.41.

42. 43.

44. 45.

46.

47. 48.

49.

50. 51.

52. ,53.

54. 55.

56. 57. 1,39, =0,01 58. 0,3090, =0,0001 59. 0,3679 60. 0,9848 61. 4,309 62. 3,079 63. 1,609 64. 3,14159 65. 0,245 66. 0,508

67. 0,481 68. 2,835 69. 0,3230, =0,0001

70.

71.

72.

73.

74.

75.

Г Л А В А 13

РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕРАЛ ФУРЬЕ

1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ.

ОСНОВНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ (ОТС)

Пусть на [a,b] заданы функцииf(x) и, такие, что- интегрируемая на [a,b] функция.Функцииf(x) иназываютсяортогональнымина [a,b], если.

Бесконечная системафункций

(1.1)

называется ортогональнойна [a,b], еслииэти функции попарно ортогональны на [a,b].

Примеры ортогональных систем:

а) Основная тригонометрическая система (ОТС):

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,… (1.2)

ортогональна на .

б) Система функций:

sinx,sin2x,…,sinnx,… (1.3)

ортогональна на .

в) Тригонометрическая система (ТС):

(1.4)

ортогональна на .

13.2. Ряд фурье по ортогональной системе функций

Пусть задана произвольная, ортогональная на [a,b] система функций (1.1).

Ряд (2.1)

называется рядом Фурьедля функцииf(x) по системе (1.1), если

(2.2)

, вычисленные по формуле (2.2) называются коэффициентами Фурье.

13.3. Тригонометрические ряды фурье

а) Ряд Фурье по ТС (1.4)

Теорема 1. (Дирихле).Если- периодическая функция с Т = 2l, кусочно-гладкая на(на этом интервалеf(x) иимеют не более конечного числа точек разрыва, притом лишь первого рода), то тригонометрический ряд Фурье по ТС (1.4) дляf(x)

, (3.1)

где

, n=1,2,3…(3.2)

сходится к f(x), еслиx– точка непрерывностиf(x) и к, еслиx– точка разрываf(x), гдеи- соответственно левый и правый пределыf(x) в точкеx:

- называются коэффициентами Фурье.

Функция , совпадающая сви удовлетворяющая условию, называетсяпериодическим продолжениемна всю осьOx.

В ряд Фурье можно разложить и непериодическую кусочно-гладкую функцию, заданную лишь в интервале , вычисляя коэффициентыпо формулам (3.2). Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, а его суммой будет- периодическое продолжениена осьOx.

При вычислении коэффициентов Фурье в формулах (3.2) интервал интегрирования можно заменить любым интерваломдлины 2l.

б) Неполные ряды Фурье.

Если - четная функция, то

. (3.3)

Ряд Фурье примет вид: .

Если - нечетная функция, то(3.4)

и ряд Фурье принимает вид .

в) Функцию , кусочно –гладкую в интервале, можно разложить в ряд Фурье только по косинусам или по синусам. Для этого достаточно продолжитьчетным или соответственно нечетным образом на интервали для полученной нафункции составить ряд Фурье. Коэффициенты Фурье будут при этом вычисляться по формулам соответственно (3.3) или (3.4).

г) Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье для , периодической сТ= 2l, а также для, заданной наимеет вид

, .

Связь между иследующая:

; ; ; .

Пример.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом) функцию, определенную равенствами:

 Начертим график заданной функции:

Рис.1.

является кусочно-гладкой на , периодической с. Ряд Фурье будет иметь вид:;

.

Запишем ряд Фурье:

(сумма ряда записана в соответствии с теоремой 1: в точках непрерывности ряд Фурье сходится к, а в точках разрыва- к среднему арифметическому односторонних пределовв этих точках).

Пример.Разложить в ряд Фурье по косинусамна отрезке [0,2].

Продолжим четным образом на [-2,0], а затем построим периодическое продолжение функции, заданной на [-2,2] на всю осьOx:

Рис.2.

Получим непрерывную на функцию;l= 2.

Ряд Фурье имеет вид: ;

.

Ряд Фурье: 

Пример.Представить рядом Фурье в комплексной форме периодическую функцию, определенную дляравенством.

Построим график данной функции.

Рис. 3.

Функция является кусочно- гладкой на , следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье, который будет иметь вид:.

.

Ряд Фурье: 

Задачи для самостоятельного решения

1. Разложить в ряд Фурье на функцию:;

2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, определенную наравенствами

3. Разложить в ряд Фурье на .

4. Разложить в интервале по синусам. Полученное разложение использовать для суммирования числовых рядов

а) б)

5. Дана функция . Разложить ее в ряд Фурье а) в; б) в; в) впо синусам, г) в интервалетак, чтобы сумма ряда тождественно равнялась нулю для всех.

6. Разложить в ряд Фурье на [-1;1].

7. Разложить в ряд Фурье на [0,3].

8. Разложить в ряд Фурье по косинусам на [0;2].

9. Доказать справедливость равенства .

10. Представить рядом Фурье в комплексной форме периодическую функцию , определенную дляравенством. Воспользовавшись полученным рядом Фурье в комплексной форме, записать в действительной форме ряд Фурье этой функции.

11. Разложить в ряд Фурье (cпериодом) в комплексной форме:

12. Разложить в ряд Фурье на.

13. Разложить в ряд Фурье на.