uchebnik10

вокупность расчленяется на отдельные (типические) группы.

Например, в хозяйстве среди крупного рогатого скота находят­

ся первотелки, группы коров по второму, третьему и другим

отелам. В таких случаях из каждой группы случайиым способом·

отбирают одинаковое, а чаще пропорциональное число единиц.

Затем вычисляют групповые характеристики, объединяемые в

общую характеристику генеральной совокупности.

При серийном отборе, как и при типическом, генеральную

совокупность предварительно делят на группы (серии, гнезда),

образуемые обычно по территориальному принципу. Затем по

усмотрению исследователя из общего количества серий или

гнезд отбирают некоторое их число для совместной обработки.

При этом серии могут быть как равночисленными, так и со­

стоять из разиого числа единиц. Например, из 30 групп под­ ростков в возрасте от 14 до 15 лет намечено обследовать вы­ борочно шесть групп. Членов этих групп и объединяют для

совместного изучения. Таким образом, в отличие от типическо­ го отбора при серийной выборке из геиеральной совокупности

извлекают не отдельные единицы, а целые серии или гнезда

относительно однородных единиц.

При механическом отборе генеральная совокупность разби­

вается на несколько равных частей или групп. Затем из каждой

группы случайным способом отбирают по одной единице. На­

пример, при обследовании посева ржи на урожайность намече­

но отобрать 100 растений (или колосьев). В таком случае поле

ржи должно быть разбито на сто равных делянок. Следова­

тельно, при механическом отборе число единиц равно числен­ ности групп, на которые разбита генеральная совокупность.

Механический отбор может производиться и по другой схеме,

когда в выборку попадает каждая десятая, сотая и т. п. еди­

ница генеральной совокупности. Например, при проведении бо­

танических или зоологических экскурсий можно регистрировать каждый пятый, десятый и т. п. экземпляр встреченных расте­

ний или животных данного вида.

Кроме типического, серийного и механического отбора в

u u

практике применяют и другие разновидности случаинои вы-

борки.

IV.2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ

Числовые показате.rIИ, характеризующие генеральную сово­

купность, называют параметрами, а ЧИС.rIОвые показате.rIИ, ха­

рактеризующне выборку,- выборочными характеристиками или

статистиками. Выборочные характеристики ЯВ.rIяются прибли­

женными оценками генеральных параметров. Это величины

С.rIучаЙные, варьирующие вокруг своих параметров. Оценки ге-

неральных параметров по выборочным характеристикам могут

быть точечными и интервальными.

Генеральные характеристики, или параметры, принято обоз­

начать буквами греческого алфавита, а выборочные характе­ ристики - латинского. Выборочная средняя х является оценкой

генеральной средней J..L, выборочная дисперсия Sx 2 - оценкой генеральной дисперсии ах2 , а среднее квадратическое отклоне­

ние Sx - оценкой стандартного отклонения ах, характеризую­

щего генеральную СОВОКУПНОСТI>. Это точечные оценки, пред­

ставляющие собой не интервалы, а числа (сточки»), вычисляе­

мые по случайной выборке.

Требоваиия, предъявляемые к точечным оценкам. Выбороч­

ные характеристики как величины случайные, варьирующие

вокруг своих генеральных параметров, в основном не -совпада­

ют с ними по абсолютной величине. Оценки должны удовлет­

ворять по меньшей мере следующим требованиям: быть состоя­ тельными, эффективными инесмещенными.

Для пояснения смысла этих свойств необходимо рассмот­

реть понятие выборочного распределения некоторой статисти­

ки. Пусть из бесконечно большой генеральной совокупности

с.,учаЙным образом извлекается большое число выборок, каж­

дая из которых включает одно и то же количество наблюдений n. В каждой из этих выборок вычисляют значение статистикн

и. В силу случайных причин эти величины будут варьировать, образуя некоторое распределение, которое называют выбороч­

ным распределением статистики.

В тех случаях, когда распределение анализируемого приз­

нака ие слишком сильно отличается от нормального вида, а

объем выборок не слишком мал, очень часто выборочные рас­

пределения многих статистик оказываются нормальными. По-

u

этому их своиства можно описать только двумя параметрами:

математическим ожиданием статистики J..Lu и ее дисперсией аи2•

Точечная оценка статистики называется состоятельной, ес­

ли при увеличении объема выборки она стремится к величине

генерального параметра. Так, для генеральной средней J..L со­

стоятельной оценкой является выборочная средняя х, для гене­

ральной дисперсии ах2 состоятельной оценкой будет выбороч­

ная дисперсия sx 2• Точечная оценка называется эффективной,

если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распреде­

ления по сравнению с другими аналогичными оценками, т. е.

обнаруживает наименьшую случайную вариацию. Так, из трех

показателей, описывающих положение цеитра нормального рас­

пределения некоторого признака Х (средней арифметической,

медианы и моды), наиболее эффективной оказывается первая Х, наименее эффективнойпоследняя Мо, так как для диспер­

сий этих оценок характерно а2:х<а2ме<а2мо. Оценка называ­

ется несмещенной, если математическое ожидание ее выбороч-

100

ного распределения совпадает со значением генерального па­

раметра.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой гене­

ральной средней, тогда как выборочная дисперсия представля­ ет собой смещенную оценку относительно генерального пара­

метра на величину nj(n-l). Чтобы получить несмещенную

оценку генеральной дисперсии, нужно при вычислении выбороч­

ной дисперсии, а следовательно, и среднего квадратического

отклонения сумму квадратов отклонений (девиату) относить не

к числу наблюдении n, а к числу степеней свободы (k=n-l).

Статистические ошибки. Выборочные характеристики, как

правило, не совпадают по абсолютной величине с соответствую­

щими генеральными параметрами. Величину отклонения выбо­

рочного показателя от его генерального параметра называют

статистической ошибкой или ошибкой репрезентативности. Ста­ тистические ошибки присущи только выборочным характери­

стикам, они возникают в процессе отбора вариант из генераль­ ной совокупности.

Для измерения ошибки репрезентативности некоторой ста­ тистики может служить дисперсия выборочного распределения аu2 или найденное на ее основе значение среднего квадратиче­ ского отклонения, которое называют также квадратической

ошибкой статистики аu. Его величина показывает, насколько

велика случайная вариация отдельных Оценок по отношению к

центру выборочного распределения, совпадающего со значе­

нием генерального пара метра, если статистика несмещенная.

Из теории математической статистики известно, что в том случае, когда распределение исходного признака Х не слишком сильно отличается от нормального вида, а объем выборки не

слишком мал (на практике n;;::::30), квадратическая ошибка

репрезентативности средней арифметической может быть най­

дена по формуле

Эта формула трансформируется в несколько рабочих формул,

из которых особенно удобны следующие:

(53)

I Ошибку средией арифметической обозиачают также буквой т,

101

Приведенные формулы применяют при вычислении ошибки

средней арифметической способом произведений. Они пока­

зывают, что при простой случайной выборке величина ошибки зависит как от объема выборки, так и от размаха варьирова­

ния признака в генеральной совокупности.

Пример 1. Выше было найдено (см. пример 16 в гл. 11), что среднее число поросят в опоросах 64 свиноматок равно 8,25.

Определим ошибку для этой средней. Величины ЩiХi=528 и

Отсюда 8;=VО,054=О,233.Среднюю арифметическую, сопро­

Если среднюю арифметическую вычисляют способом условной средней А, ее ошибку вычисляем по следующей формуле:

Пример 2. Выше было найдено (см. табло 15), что содержа-

ние кальция в сыворотке крови обезьян в среднем равно х=

= 11,94 мг%. Определим ошибку для этой средней. В табло 15 находим: Ща=+67; Ща2 =293; n= 100. Подставляем эти дан-

- 0,45)=2~:8=0,025. Отсюда 8;=VO,025=0, 158.

При бесповторном отборе вариант из численно ограничен­

нОй генеральной совокупности ошибка выборочной средней, оп­

ределяемая по формуле (53), оказывается несколько завышен­ ной, особенно в тех случаях, когда объем выборки достаточно

велик (n>25% от N)o Учитывая это обстоятельство, К. Пир-

сон (1898) предложил nonpaB1CYV (N-n)j(N-l), которую в

этом случае необходимо вносить в качестве множителя в фор­

мулу (52). При этом вместо (N-n)j(N-l) можно использо­

вать приближенную величину l-n!N, где n!N - доля выборки,

т. е. вычислять ошибку средней по формуле

102

Чем больше доля выборки, тем сильнее скажется поправка

на величине ошибки средней. Если же доля выборки мала, что

наиболее часто встречается в практике, поправка оказывается близкой к единице и величина ошибки средней практически не

изменится. Поэтому в тех случаях, когда объем генеральной

совокупности N достаточно велик по сравнению с объемом вы­

борки n, величина поправки 1-n/N будет близка к единице и

ею можно пренебречь.

Пример 3. Из общего числа 500 мужчин, подлежащих при­

зыву на военную службу, выборочно изменен рост у 80 чело­ век. Средний рост призывников оказался равен 170 см с дис­ персией 66,3. Определим ошибку для этой средней:

Если же ошибку средней вычислить без поправки Пирсона, она

оказывается следующей:

SX= V6"""6:"'"'>,3""'/8=0=0,829=0,910.

Иногда возникает необходимость объединить несколько

групповых средних с их ошибками. В таких случаях для опре-

деления ошибки общей (невзвешенной) средней i, если вьiБОР­

ки равновелики, применяют формулу

где k - число слагаемых групповых средних.

Пример 4. На трех независимых равновеликих выборках по­

лучены следующие средние: Хl = 10,2±0,12; Х2 _11,5±0,18; х=

= 13,1±0,09. Общая средняя для этих выборок х= (1/3) (10,2+

+11,5+13,1)=11,6; ее ошибка

S;=( 1/3) V о, 122+0,182+0,092=(1/3) VO,055 =0,078.

Ошибку взвешенной средней из суммы частных или группо­

муле

(nl-1)si-(n2-I)s~+ ... +(nk-l)sZ

/1

~ ni- v

1-1

(57)

103

где ni - объемы независимых выборок из нормально распред...

ляющейся генеральной совокупности; Si 2 - дисперсии этих BI::·

борок; V - число ограничений свободы вариации, равное числ'

независимых выборочных групп. При известном объеме гeH~.:.

ральной совокупности N ошибка общей взвешенной средней -:

определяется по формуле

ле было разбито на пять типовых участков (групп). Каждьп

участок, в свою очередь, был разделен на более мелкие учаС1

ки (метровки), из которых случайным бесповторным способо!\­

отбирали пропорциональное (по объему групп) количество ю·

лосьев с последующим взвешиванием массы содержавшихся 1

них зерен (В граммах). Результаты отбора и нх обработка прr-­ ведены в табл. 33.

Взвешенная средняя

=20·9,8 +40·8,5 +80.7,7 +30· 12, 1 +30· 1О ,2

Чтобы определить ошибку этой величины, нужно сперва рассчр­

тать взвешенную дисперсию: sx2 =725,7/(200-5) =3,72. По;;

ставляя нужные величины в формуле (58), находим ошибк'

взвешенной средней:

Статистические ошибки характеризуют варьирование выбt. рочных показателей вокруг своих генеральных параметров. Ою обладают теми же свойствами, что и среднее квадратичеСКQ~

отклонение. Чем сильнее варьирует признак, тем больше Прl

104

прочих равных условиях будет ошибка выборочных показате­

лей, и, наоборот, при слабом варьировании признака ошибка выборочных показателей окажется меньше. Одно лишь свойство

специфично для ошибок репрезентативности: они У'м'еньшаются

при увеличении объе'м'а выборки, т. е. при n-+ОО, s; -+0. Это

свойство статистических ошибок обусловлено действием закона

больших чисел, по которому наиболее вероятный результат

получается при наибольшем числе испытаний. Отсюда понятно

значение ошибки: она указывает на точность, с какой выбороч­

ный показатель репрезентирует генеральный параметр. Чем

меньше ошибка, тем ближе выборочная характеристика к ве­ личине генерального параметра, и, наоборот, чем больше ошиб­ ка, тем менее точно выборочная характеристика репрезенти­ рует генеральный параметр.

"оказатель точности оценок. Судить о точности, с какой

определена та или иная выборочная средняя, позволяет отно­

шение ошибки репрезентативности к своей средней. Этот пока­

затель, обозначаемый символом Cs (обычно выражен в процен­

тах) , определяют по одной из следующих формул:

XJ=(86,1+0,7) см и Х2=(17,4+0,2) г. Так как средние выра­

жены разными единицами, судить по абсолютной величине их

ошибок о том, какая из них определена более точно, нельзя.

Ответить на этот вопрос позволяет коэффициент Cs:

Из расчетов видно, что первая средняя определена более

точно, чем вторая.

Показатель точности Cs нашел широкое применение осо­ бенно при сравнительной оценке результатов сельскохозяйст­

венных опытов. Точность средних показателей, которыми оце­ нивают результаты наблюдений, считают вполне удовлетвори­

тельной, если коэффициент Cs не превышает 3-5%.

Коэффициент Cs сопровождает~я ошибкой SCs, которую оп­

ределяют по формуле

(61 )

105

Ошибками репрезентативности сопровождаются и другие выбо­

рочные показатели, из которых необходимо отметить следую­

щие.

'У.3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

Доверительный интервал для генеральной средней. По из­

вестным выборочным характеристикам можно построить интер­

вал, в котором с той или иной вероятностью находится гене­

ральный параметр. Вероятности, признанные достаточными для

уверенного суждения о генеральных параметрах на основании

известных выборочных показателей, называют доверительны­ м,и. Понятие о доверительных вероятностях предложено Р. Фи­

шером. Оно вытекает из принципа, который положен в основу

применения теории вероятностей к решению практических за­

дач. Согласно этому принципу, маловероятные события счита­

ют практически невозможными, а события, вероятность которых

близка к единице, принимают за почти достоверные. Обычно в

качестве доверительных используют вероятности Р1 =0,95; Р2 =

=0,99 и Рз =0,999. Это означает, что при оценке генеральных rтapaMeTpoB по известным выборочным показателям существует

106

риск ошибиться в первом случае один раз на 20 испытаний, во

втором - один раз на 100 испытаний и в третьем - один раз на

1000 испытаний.

Доверительным вероятностям, как это видно из табл. 1 При­

ложений, соответствуют следующие величины нормированных

отклонений:

Выбор того или иного порога доверительной вероятности ис­

следователь осуществляет исходя из практических соображе­

ний той ответственности, с какой делаются выводы о

генеральных параметрах.

С доверительной вероят­

t= 1,96 отклонения от центра нормального распределения вклю­ чают 95% его площади. За пределами этих границ по обе сто­

роны находится по 2,5% указанной площади, составляя тем са­

мым 5%-ный уровень значимости.

Учитывая, что выборочное распределение некоторой стати­

стики, например средней арифметической величины, при доста­

точно больших объемах выборок имеет нормальную форму,

можно записать выражение

-t<;. Х--!.1. <;.t.

s-

ох

Это выражение означает, что вероятность того, что средняя Х, найденная по выборке, отклонится случайным образом от центра J.L на какую-то долю квадратической ошнбки sx, может быть оценена через нормированное значение по таблицам нор­ мального распределения. Отсюда можно утверждать, что гене­

ральная средняя J.L находится с этой вероятностью в интервале

107

ко от одного из трех значений доверительной вероятности 0,95;

0,99; 0,999, принимая величины 1,96; 2,58; 3,29.

Прuмер 7. Распределение кальция в сыворотке крови обезь­

ян, как было установлено выше, характеризуется следующими

выборочными показателями: х=11,94 мг%; sx=1,27; n=100. Построим 95%-ный доверительный интервал для генеральной

средней J.L этого распределения:

утверждать, что генеральная средняя данного нормального рас­

пределения находится между 11,70 и 12,18 мг%. Это довольно

узкий доверительный интервал. Можно утверждать, что выбо­

рочная средняя х= 11,94 мг% является достаточно точной оцен­

кой генерального параметра. На это указывает и показатель

точности средней

Cs = 100 1,27 уТ06 = 1,05 %.

11,94

Доверительный интервал для генеральной дисперсии и стан­ дартного отклонения. Доверительный интервал для дисперсии

верительного интервала.

Прuмер 8. Определить границы 95%-ного доверительного

интервала для генеральной дисперсии распределения кальция

(мг%) в сыворотке крови обезьян. Для этого распределения

ного интервала для стандартного отклонения оказываются сле-

дующие: Ри=Vl,16=1,08 и PB=]/~,04=1,43.

Более точно доверительный интервал для генеральной дис­

персии строят с trрименением xHxu-квадрат)-крuтерuя Пиреона

(см. гл. У). Критические (процентные) точки для этого кри­

терия приведены в таб,тr. VII Приложений. Они рассчитаны для

108