uchebnik10

Затем границы классов были изменены путем округления iробей до целых чисел и частоты вариант распределились по

~лассам следуJOЩИМ образом:

)идно, что в результате незначительных изменений границ

~лассов средняя арифметическая и среднее квадратическое от­

:лонение остались без изменения, тогда как коэффициент асим­

,{етрии As увеличился более чем в четыре раза.

Такого рода асимметрию Иогансен назвал кажущейся или

.ожноЙ, возникшей исключительно вследствие технических при­

~ин. Отсюда следует, насколько важно соблюдение выработан­

-lblХ правил распределения результатов наблюдений винтер­

~альной вариационный ряд.

Другая причина возникновения асимметрии - это .модифи­ tирующие условия внешней среды, в которой происходит раз-

1Итие организма и формируются количественные признаки.

Iзвестно, например, что засуха, невыравненность почвенного lитания растений и т. п. факторы среды вызывают асиммет­

)ию в распределении хозяйственно полезных признаков. Заме­

reHo также, что прн прочих равных условиях характеристики

lяда распределения размеров колосьев у озимой ржи находят­

'я в зависимости от густоты стояния растений в посеве этой :ультуры (табл. 54).

Из табл. 54 видно, что с увеличением численности растений

ta единице площади средняя длина колосьев уменьшается и,

:ак следствие, происходит увеличение коэффициента вариации lрИ более или менее стабильной величине среднего квадрати­ 'еского отклонения. Особенно сильно увеличивается коэффи­

~иент асимметрии.

149

венные признаки наследуются полигенно. При отсутствии до­

минирования, эпистаза и других способов взаимодействия не­

аллельных генов действие аддитивных, т. е. однозначных или сходных по силе действия на признак, генов обусловливает про­

межуточный тип наследования, их нормальное распреде.ТIение. Если же в процессе формирования признака имеет место взаи-

u

модеиствие генов, при котором одни активные гены подавляют или ограничивают активность других, то промежуточного типа

наследования признака наблюдаться не будет и кривая распре­ деления такого признака окажется асимметричной.

Каждая из названных причин действует на признак не изо­

лированно, а, как правило, суммарно, поэтому без строгого

статистического и генетического анализа нельзя выявить кон­

кретную причину, вызывающую отклонение эмпирического рас­

пределения от нормальной кривой. Во всяком случае отклоне­

ния вариационных кривых от нормального закона, если они не

ну или причины, вызывающие асимметрию изучаемого призна­

ка, выяснение которых является больше задачей биологии, чем

биометрии.

VI.5. ОЦЕНКА ТРАнсrРЕССИИ РЯДОВ

При распределении независимых выборок, взятых из раз­

ных генеральных совокупностей, нередко случается, что неко­ торая часть членов этих выборок оказывается в одних и тех

же классах вариационного ряда. Такие ряды, у которых часть

классов оказывается общей (несмотря на то что между сред­

ними арифметическими этих рядов может быть статистически достоверная разница), называют трансгрессирующи,м,и, а сам факт неполного разобщения вариационных рядов и их графи­

ков - трансгрессией.

Вариационные кривые трансгрессирующих рядов выглядят

так, что правая сторона одной кривой и левая сторона другой

взаимно проникают друг в друга, так что под ними образуется

часть общей площади в системе прямоугольных координат, по­

казывающая величину трансгрессии.

В табл. 55 приведены ряды распределения кальция в сыво­

ротке крови обезьян, страдавших припадками тетании (боль­

ных) и клинически здоровых. Из той же таблицы видно, что

часть членов каждой из выборок распределилась по одним и

150

Это пример трансгрессирующих рядов выборок из разных

генеральных совокупностей, каждая из которых характеризует­

ся своими параметрами. Наличие гипокальцемии в сыворотке

крови, взятой у больных обезьян,- х::tрактерный признак их

патологического состояния, связанного с гипофункцией пара­

щитовидных желез. Однако, учитывая, что ряды распределения

трансгрессируют, нельзя утверждать, что гипокальцемия­

единственная причина возникновения припадков тетании у

обезьян.

Таблица 55

Частоты вариационных рядов

трансгрессирующих вариант в процентах от общей численно­ сти обеих выборок. Так, из табл. 55 следует, что из 142 вари­

ант трансгрессируют в первом ряду 1+3+2+9+12=27, а во втором-2+3+9+17+25=56 вариант, всего трансгрессируют

27+56=83 варианты, что составляет 58,5% от общего числа

наблюдении. Это довольно значительная трансгрессия: больше

половины членов двух выборок распределяется по одним и тем

же классам вариационного ряда. Понятно, что этот способ из­

мерения величины трансгрессии не точен и дает лишь прибли­

женное представление о ее размере. Более точно рассчитать величину трансгрессии Тг для нормально распределяющихся совокупностей можно с помощью следующей формулы:

(107)

151

где n1 и n2 - объемы сопоставляемых распреде,1еНIIЙ; _Р1=

и

S2

miП2, таХ1, Ф (1) И ф(2) легче уяснить из рис. 23, на котором

изображены выровненные кривые распределения кальция в сы­ воротке крови больных и здоровых обезьян. Остальные сим­

волы объяснены выше.

Показатель трансгрессии выражают в долях единицы или процентах. Значения функции ф(t) приведены в табл. 1 Прило-

=0,34. Вычисляем значения Р, =

= 0,5+0,5Ф (-0,55) = 0,5+0,20885 = 0,70885; Р2 = 0,5+0,5ФХ

Х(0,34) =0,5+0,13305=0,63305. Подставляем известные величи­

ны в формулу:

Пример 11. В табл. 56 приведены ряды распределения мас­

сы фасолин, которые были отобраны из урожая f1 и из посев­ ного материала f2. Из данных таблицы видно, что эти ряды

трансгрессируют, хотя и незначительно: из общего объема двух

выборок (n=300) трансгрессирует лишь 21 варианта, что со­ ставляет 7% от их общего числа. Вычислим показатель транс­

грессии для этих распределений.

В длнном случае Х1=319,0 мг; Х2=573,5 мг; sl=58,3; S2=

=59,3. Определяем miП2=573,5-3·59,3=395,6; таХ1=319,0+

+3· 58,3=493,9; /1 = (395,6-319,0)/58,3= 1,31; /2= (493,9- - 573,5)/59,3 = -1,34. Отсюда Р1 = 0,5- О,5Ф(I,31) = 0,5- -0,5· 0,8098=0,095; Р2=0,5-0,5Ф (-1,34) =0,5-0,5·0,8198=

152

=0,0901. Подставляем найденные величины в формулу:

,

,ак и следовало ожидать, трансгрессия этих рядов оказалась

lезначительноЙ.

VI.6. ПРОВЕРКА СОМНИТЕЛЬНЫХ ВАРИАНТ

Отдельные варианты, попавшие в состав выборки, иногда

~ильно отличаются от остальных ее членов, так что возникает

'омнение в их принадлежности к генеральной совокупности, из

~оторой взята эта выборка. Сомнительная варианта может по-

Таблица 56

lасть в выборку ошибочно, что отразится на выводах, которые ~елают на основании выборочных данных. Такая варианта

~олжна быть исключена при вычислении обобщающих харак­

~еристик статистической совокупности. Однако произвольно от­

JpaCblBaTb сомнительные варианты нельзя, так как они могут

iринадлежать к той же генеральной совокупности, из которой 1звлечены и другие члены выборки. Возникает задача статис-

J Величииы О,5Ф(t1) н 0,5Ф(t2) взяты с отрицательным знаком на том ос­

:овании, что в данном примере miП2>Хl и maXl<X2.

153

тической проверки сомнительных вариант. При этом исходят

из предположения, что сомнительные варианты принадлежат

к одной и той же нормально распределяющейся генеральной

совокупности.

Для проверки этой (нулевой) гипотезы применяют особые

критерии. В качестве одного из них служит нормированное ОТ­

клонение t, которое уже упоминалось ранее [см. формулу (20)].

Нулевую гипотезу отвергают, если tф~tst (критические значе­

ния tst для 5%-ного И 1%-ного уровней значимости с учетом объема выборки n приведены в табл. XVI Приложений).

Пример 12. Собранный с шести опытных делянок урожай зерна озимой ржи варьировал следующим образом:

Из приведенных данных выделяется варианта xs=30,8, сильно отличающаяся от остальных членов выборки. Нужно проверить гипотезу НО о принадлежности этой варианты к дан­

варианту 30,8: t= (30,8---24,4)/3,53= 1,81. В табл. XVI дЛЯ а=

=5% и n=6 находим tst=2,07. Так как tф= 1,81 <2,07, то ну­

левую гипотезу отвергнуть нельзя.

Другие критерии для проверки нулевой гипотезы основаны

на использовании разностей между сомнительными и соседни­

ми членами ранжированного ряда. Для этого служат формулы

(108)

Вычисление t1 применяют для проверки наименьших Xl, а t2-

для проверки наибольших хn членов ранжированного ряда. Ну­

левую гипотезу отвергают, если tф~tst для принятого уровня

значимости а и объема выборки n. Критические точки для t1 приведены в табл. XVII, а для t2 - В табл. XVIII Приложений.

Пример 13. Проверить с помощью критерия t2 вывод, кото­

рыIй был описан при оценке варианты Xs =30,8. Для этого ран­

жируем выборку в порядке возрастания числовых значений

признака:

154

ложений для а=5% и находим Так как tф= =0,64<0,69, это не дает оснований для непринятия нулевой гипотезы. Следовательно, все члены данной выборки принад­

лежат к одной и той же генеральной совокупности и при рас­ чете среднего урожая нельзя отбрасывать варианту 30,8.

Пример 14. Рассмотрим выборку следующего состава: 37, 40, 38, 28, 9, 32, 25, 26, 23 - всего 9 вариант. В данном случае

вызывает сомнение варианта 9. Проверим ее принадлежность

к данной генеральной совокупности. Ранжируем выборку сле­

дующим образом:

Подставляя нужные величины в формулу, находим t1= (23-

-9)/ (38-9) = 14/29-0,48.

Эта величина несколько превышает критическую точку tst= =0,44 для а=5% и n=9, что опровергает нулевую гипотезу

на 5%-ном уровне значимости (см. табл. XVH Приложений). Однако на уровне а= 1% нулевая гипотеза сохраняется. Как

же поступить в таком случае с вариантой 9? Прежде чем при­

НЯть окончательное решение по этому вопросу, следует прове­

рить Но-гипотезу с помощью более мощного параметрического

критерия - t-нормированного отклонения. Характеристики рас­

сматриваемой выборки: х=28,67 и sx=9,59. Отсюда нормиро­

ванное отклонение t1 = (9-28,67)/9,59=2,07. По табл. XVI

Приложений для а=5% и n=9 находим ts t=2,35. Так как tф=2,07<2,35, нулевую. гипотезу отбросить нельзя. Следова­

тельно, при расчете обобщающих характеристик выборки оце­

ниваемую варианту 9 исключать не следует.

ГЛАВА VII

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

СУЩИОСТЬ метода. Наряду с относительно простыми спосо­

бами сравнения одной выборки с другой в исследовательской

работе встречаются и более сложные задачи, когда приходится

сравнивать одновременно несколько выборок, объединяемых в

единый статистический комплекс. В таких случаях метод попар­

ных сравнений выборочных характеристик оказывается обреме­

нительным, требующим большой вычислительной работы. Учи­

тывая это обстоятельство, Р. Фишер (1925) предложил метод

комплексной оценки сравниваемых средних, получивший назва­

ние дисперсионного анализа. Этот метод основан на разложе­

нии общей дисперсии статистического комплекса на составляю­

щие ее компоненты (отсюда и название метода), сравнивая

155

которые друг с другом посредством F-критерия можно опре­

делить, какую долю общей вариации учитываемого (результа­

тивного) признака обусловливает действие на него как регу­

лируемых, так и не регулируемых в опыте факторов.

'l'aK, если регулируемый фактор (например, доза удобре­

ний) оказывает существенное влияние на результативный приз­

нак (урожай культуры), оно непременно скажется на величине

групповых средних, которые будут заметно отличаться друг от

друга. Таким образом, здесь происходит варьирование группо­

вых средних, причиной которого является влияние регулируе­

мого фактора.

Внутри каждой группы, входящей в статистический (дис­

персионный) комплекс, тоже обнаружится варьирование, выз­

ванное влиянием на признак не регулируемых в опыте факто­

ров. Зависимость между этими источниками варьирования вы­

разитс~ равенством Dy=Dx+De, где Dx - межгрупповая де­ виата, представляющая СО,бои сумму квадратов отклоиений групповых средних Xi (их общее число - а) от общей средней

Х комплекса, взвешенную на численность вариант в группах n,

сумм квадратов отклонений отдельных вариант Х! от их груп-

повых средних Xi, т. е.De = ~[~(х)- XI )2] ;Dy- общая де-

1 J-l

виата или сумма квадратов отклонений вариант Xi (дат, по терминологии Фишера) от общей средней Х комплекса, т. е.

Dg = ~ (х) _Х)2.

J-l

Деление сумм квадратов отклонений (девиат) на числа сте­

пеней свободы k дает выборочные дисперсии Sy2=D y/k y; Sx2=

=Dx/kx; se2=De/k e, которые служат оценками соответствую­

щих генеральных параметров: Sy2 является оценкой общей дис­

персии всего комплекса О'у2; Sx 2 - оценкой межгрупповой дис­

персии О'х2 ; Se2 - оценкой внутригрупповой, или остаточной, дис-

персии О'е2 •

Отношение межгрупповой дисперсии (называемой также

факториальной дисперсией, так как она зависит от действия ре­ гулируемых факторов) к внутригрупповой, или остаточной,

дисперсии служит критерием оценки влияния регулируемых в

опыте факторов на результативный призиак, т. е. F=Sx2/Se2

(при Sx2~Se2).

Нулевая гипотеза сводится к предположению, что геиераль­

ные межгрупповые средние и дисперсии равны между собой и

различия, наблюдаемые между выборочными показателями,

156

вызваны случаиными• причннами, а не влиянием на признак ре-

гулируемых факторов. Нулевую гипотезу отвергают, если Fф~ ~Fst для принятого уровня значимости а и чисел степеней сво­ боды k:x; и ke, и принимают, если Fф<Fst; при этом различия,

иаблюдаемые между групповыми средними комплекса, призна-

ют статистически недостоверными. '.

После того как действие регулируемого фактора, нескольких

факторов или Их совместного действия на признак будет до­

казано, т. е. окажется статистически достоверным, переходят,

когда это необходимо, к сравнительной оценке групповых сред­

них. Заключительным этапом дисперсионного анализа является

оценка силы влияния отдельных факторов или их совместного

действия на признак.

Будучи методом одновременных сравнений выборочных

средних, дисперсионный анализ предъявляет определенные тре­ бования к группировке выборочных данных и к планированию

наблюдений. Результаты наблюдений, подлежащие дисперсион­

ному анализу, группируют с учетом градаций каждого регули­

руемого фактора, воздействующего на признак, например по дозам удобрений, по срокам или способам внесения их в почву, по породной принадлежности экспериментальных животных, их

возрастному составу и т. д.

Правильное применение дисперсионного анализа предпола­

гает также нормальное или близкое к нормальному распреде­

ление совокупности, из которой взяты выборки, объединяемые

в дисперсионный комплекс. При этом важно, чтобы дисперсии

выборочных групп были одинаковыми или не очень сильно от­ личались друг от друга. Не менее важным является и то, что­ бы при планировании наблюдений и особенно при обработке

их результатов в группах дисперсионного комплекса содержа­

лись одинаковые или пропорциональные числа вариант (дат),

что значительно облегчает дисперсионный анализ.

Дисперсиоиный анализ возник в процессе усовершенство­

вания методики сельскохозяйственного опытного дела. Однако

вскоре его стали применять не только в биологии и смежных

с ней областях знания, но и в технике, а затем в психологии и

педагогике.

Дисперсионный анализ характеризуется строгой логично­

стью и последовательностью вычислительных операций. Цеи­

ность этого метода заключается в том, что он позволяет выя­

вить и суммарное действие факторов, и действие каждого ре­

гулируемого в опыте фактора в отдельности, и действие раз­ личных сочетаний факторов друг с другом на результативный

признак.

Основные понятия и символы. Признаки, изменяющиеся под

u

воздеиствием тех или иных причин, называют результативны-

Jrtu. Причины, .вызвавшие изменение величины результативного

151

признака или признаков, принято называть факторами. Напри­

мер, масса тела, его линейные размеры, физическое развитие

организма; урожайность ТОй или иной культуры; успеваемость

учащихся и т. д.- все это признаки, на которые оказывают

влияние самые различные факторы: элементы или режим пи­

тания, физические или умственные упражнения, дозы лекарст­ венных или токсических веществ, удобрений и т. Д. Факторы

обозначают прописными начальными буквами латинского ал­

фавита (А, В, С, ... ), учитываемые признаки - конечными (Х,

У, Z).

Существует много факторов, воздействующих на один и тот

же признак. В опыте регулируются лишь некоторые из них;

их называют регулируемыми или организованными факторами в отличие от факторов, которые не подвергаются регулирова­

нию, хотя и оказывают воздействие на -величину результатив­

ного признака. Обычно каждый регулируемый фактор испыты­

вают серийно, т. е. в виде нескольких независимых друг от

друга групп или градаций.

Градации принято обозначать теми же буквами, что и фак­

торы. Например, градации фактора А обозначают через А\1 А21

Аз и т. д., а градации фактора В - соответственно через В\,

В2, Вз и т. д. Число градаций того или иного фактора опреде­

ляется условиями опыта, например испытываемыми дозами

удобрений, количеством сортов, подвергаемых испытанию на

урожайность, и т. д. Результативные признаки также могут

иметь свои градации, на которых испытывают действие регу­

лируемых факторов.

Выше было указано, что дисперсионный анализ позволяет

учитывать различные сочетания действия регулируемых фак­

торов на результативный признак. Эти свойства не распрост­

раняются на не регулируемые в опыте факторы, действие ко­ торых на признак учитывают не дифференцированно, а суммар­

но. При этом дисперсионный анализ позволяет выражать учиты­ ваемые признаки не только абсолютными единицами измерения и счета, но и в баллах, индексах и других относительных и ус­

ловных единицах.

Условия образования и виды дисперсионных комплексов.

Статистические, или дисперсионные, комплексы могут формиро­

ваться как в планах намечаемых исследований, так и на ос­

новании уже собранных данных, подвергаемых дисперсионному анализу. При образовании дисперсионных комплексов необхо­ димо соблюдать по крайней мере два важных условия, гаран­ тирующих правильное nрименение дисперсионного анализа.

1. Действующие на признак регулируемые факторы должны быть независимы друг от друга. 2. Выборки, группируемые в

статистический комплекс, должны производиться по принципу

158