У п р а ж н е н и я

1.Построить уравнение прямой, пересекающей координатные оси в точках (2; 0) и (0; –3).

2.Даны три точкиА(–2; 1),В(1; –3),С(2; 3). а) Построить уравнение прямойАВ; б) найти тангенс угла между прямымиАВиАС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямойАВ, проходящего через точкуС; г) построить уравнение прямой, параллельнойАВи проходящей через точкуС; д) найти расстояние между точкамиАиВ; е) найти расстояние между точкойСи прямойАВ; ж) найти площадь треугольникаАВС.

2.Векторная геометрия

В геометрическом векторном пространстве стандартный базис состоит из векторов, имеющих единичную длину, расположенных по координатным осям и направленных в положительную сторону соответствующих координатных осей. Векторы, соответствующие осям 0x, 0y, 0z, обозначают соответственно,,и называют основными или базовымиортами.

Проекциявекторана прямую – это вектор, начало и конец которого есть проекции начала и конца векторана эту прямую.

В разложении вектора = (₁, ₂, ₃) по базису: =₁+₂+₃слагаемые являются проекциями векторана соответствующие координатные оси.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными; параллельные одной плоскости – компланарными.

Перпендикулярные векторы называют ортогональными.

Если = (a, b, c) и известны координаты точкиA(x₁,y₁,z₁), то координаты точки B(x₂,y₂,z₂) находим сложением этих координат:x₂ =x₁+a, y₂ =y₁ +b, z₂ =z₁+c. Аналогично координаты начала вектора получаются из координат конца вычитанием координат вектора.

Пример 3. Найти координаты вершиныDпараллелограммаABCD, если заданы координатыА(2, –1, 1),В(4, 2, 0),С(–3, 1, –2).

Решение. Изобразим параллелограммABCDна рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы было наглядно видно, какие векторы использовать в вычислениях. Замечаем, что

= = (–3 – 4, 1 – 2, –2 – 0) = (–7, –1, –2),

и получаем координаты D(2 – 7, –1 – 1, 1 – 2), илиD(–5, –2, –1).

Скалярное произведение

Скалярное произведениевекторовиопределяется формулой:

= cos, (1)

где – угол между векторамии.

Свойства скалярного произведения:

1. = _.

2. = .

3. =.

4. .

5. Критерий ортогональности векторов: .

6. Если = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃) то = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Такая же формула с двумя слагаемыми для плоского случая.

Пример 4. Найти косинус угламежду векторами = (2, –1, 3), и= (3, 2, –2).

Решение. Из формулы (1) получаемcos=;

= = –2;

;

;

cos=.

Пример 5. Найти площадь треугольникаАВС, если заданы координаты вершинА(2, –1, 3),В(3, 2, –2),С(0, 3, 1).

Решение. Площадь находим по формуле, где– угол междуАВиАС. Вводим векторы

= (3 – 2, 2 – (–1), –2 – 3) = (1, 3, –5);

= (0 – 2, 3 – (–1), 1 – 3) = (–2, 4, –2).

cosнаходим, как в примере4:

= –2 + 12 + 10 = 20;

; ;

cos=;

;

.

Замечание. При вычисленииsinсокращение не производилось специально, чтобы упростить вычисления на последнем шаге.

Векторное произведение

Упорядоченная тройка векторов ,,пространства называетсяправой, если при совмещении их начал в одной точке из конца вектораповорот откнаблюдается против часовой стрелки. В противном случае тройка называетсялевой. Эта характеристика называетсяориентациейтройки векторов.

Если векторы в тройке сдвинуть по кругу, то ориентация не изменится. Если же поменять местами два вектора, то ориентация изменится на противоположную.

Векторным произведениемвекторовиназывается вектор=такой, что:

(a), где– угол между векторами;

(b),;

(c) векторы,,образуют правую тройку.