5. Приклади економетричних моделей

1). Модель споживання

Метою усіх виробничих систем є виробництво матеріальних благ, які споживаються одразу або надходять у запаси і споживаються у майбутньому. Метою вивчення обсягу споживання є пошук закономірностей споживання деякою товару або групи товарів залежно під їх піни, доходу населення та інших параметрів. Економічні та статистичні спостереження споживання дозволяють висунути певні гіпотези і описати закономірності за допомогою моделі.

Позначимо Y_і - споживання і-го продукту і-тою сім'єю, доход якої дорівнює Х_i. Якщо кожному значенню х_і відповідає одне певне значення у_і, то між Х_і та Y_і існує певний функціональний зв'язок у_і = f (x_i). Але на розмір споживання продукту у_і крім доходу сім'ї х_і, впливають інші фактори (розмір сім'ї, середній вік, специфіка праці, схильність до ощадливості, стриманість або надмірність у витратах), частина яких є випадковими. Сім'ї з однаковим доходом х_і мають різний розмір споживання, тому функціональний зв'язок теоретично треба замінити рівнянням регресії Ŷ = f(х_і), де Ŷ_i - середнє значення розміру споживання і - ого продукту.

Якщо врахувати вилив усіх випадкових факторів і ввести у моделі, випадкову складову u_i, то отримаємо Ŷ = f(х_і) + u_i^{^}_.

Загальний вигляд моделі споживання для і =1, 2,..., n, буде Y = F(X) + U , де Y, X та U - вектори. Наблизити обчисленні значення Ŷ до фактичних можна шляхом заміни цього рівняння лінійним рівнянням зi стохастичною складовою u_i^{^}: Y=αX + β + u_i^{^}_., де α та β – оцінки (наближені значення) невідомих параметрів моделі.

2). Виробнича функція Кобба - Дугласа

Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили. Функцію Y = a F^α L ^β, 0 < α<1, 0 < β<1 називають виробничою функцією Кобба- Дугласа. У загальному вигляді права частина рівності може містити більшу кількість факторів.

3). Модель пропозиції та попиту

На конкурентному ринку рівновага обміну встановлюється як рівновага між пропозицією та попитом.Нехай у₁ та у₂ - обсяги попиту і пропозиції деякого продукту в певний день на деякому ринку, р - ціна реалізації продукту. Оскільки ціна може не влаштовувати покупців та продавців, то обсяг проданого товару змінюється, тобто

Y₁ = f₁ ( p, u_i^{^} ) - функція попиту; Y₂ = f₂( p, U) - функція пропозиції.

Знаючи ціну р, можна визначити величини попиту та пропозиції.

Отже, моделлю рівноваги на розглянутому ринку буде: Y₁ = Y_2.

В реальних умовах попит і пропозиція певного товару залежать не лише від ціни р на нього, але і від цін товарів, що можуть його замінити або доповнити. Попит залежить ще від доходу покупців, а пропозиція залежить від виробничих умов. В цій моделі попит залежить від ціни у період t, а пропозиція - від ціни попереднього періоду ( t -1 ). Таке явище називається лагом (запізненням) ціни.

6. Метод найменших квадратiв (мнк)

Метод найменших квадратів – метод розрахунку параметрів моделі Y_р= â₀ + â_1·x + u_i^{^} Ідея методу базується на тому, що величина u_і має буде мінімальною:

= ∑(y_i - ỳ) або ∑(y_i - ỳ)² або ∑│y_i - ỳ│ min.

Краще всього в ролі функції оцінки відхилень взяти суму квадратів відхилень кожної точки від свого розрахункового значення Q (â₀ , â₁) == ∑(y_i - ỳ_i)² = ∑( y_i – (â₀ + â_1·x_і+ u^{^}_i))².

Ця функція має min значення в тих точках, де частинні похідні по змінних â_0, â₁l дорівнюватимуть нулю:

=0, ( y_i – (â₀ + â_1·x_і))(-1) = 0, ∑ y_і – ∑â₀ – ∑ â_1·x_і = 0,

=0 (( y_i – (â₀+ â_1·x_і))(- x_i)=0 ∑ y_і·х_і – â₀ ∑ х_і – â₁ ∑ _·x_і² =0,

Записується остаточна система рівнянь:n â₀ + â₁ ∑ _·x_і = ∑ y_і ,

â₀ ∑ х_і + â₁ ∑ _·x_і² =∑ y_і·х_і ,

n – кількість спостережень.

Розв’язання системи рівнянь проводиться за допомогою оберненої матриці або за правилом Крамера. Основний визначник системи , тому існує єдиний розв'язок системи: .

ả_{1 = =;} ả_{0 = =.}

З цього випливає, що лінія регресії проходить через точку, координати якої є середніми значеннями показника Y та фактора X: . Середнє значення прогнозу показника Y _р при значенні фактора Х_р визначається за формулою = ả₀ + ả₁