тем и понятие «малости» входных данных зависит от точного времени выполнения конкурирующих алгоритмов. Существуют алгоритмы, такие как алгоритм целочисленного умножения, асимптотически самые эффективные, но которые никогда не используют на практике даже для больших задач, так как их константы пропорциональности значительно превосходят подобные константы других, более простых и менее «эффективных» алгоритмов. Другой пример — фибоначчиевы кучи, несмотря на асимптотическую эффективность, с практической точки зрения программная сложность реализации и большие значения

констант в формулах времени работы делают их менее привлекательными, чем обычные бинарные пирамиды[1].

Если решение некоторой задачи для n-вершинного графа при одном алгоритме занимает время (число шагов) порядка nC, а при другом — порядка n+n!/C, где C — постоянное число, то согласно «полиномиальной идеологии» первый алгоритм практически эффективен, а второй — нет, хотя, например, при С=10(1010) дело обстоит как раз наоборот.[2]

А. А. Зыков

Эффективные, но сложные алгоритмы могут быть нежелательными, если готовые программы будут поддерживать лица, не участвующие в написании этих программ.

Известны примеры, когда эффективные алгоритмы требуют таких больших объемов машинной памяти (без возможности использования более медленных внешних средств хранения), что этот фактор сводит на нет преимущество «эффективности» алгоритма. Таким образом, часто важна не только «сложность по времени», но и «сложность по памяти» (пространственная сложность).

В численных алгоритмах точность и устойчивость алгоритмов не менее важны, чем их временная эффективность.

Классы сложности

Класс сложности — это множество задач распознавания, для решения которых существуют алгоритмы, схожие по вычислительной сложности. Два важных представителя:

Класс P

Класс P вмещает все те проблемы, решение которых считается «быстрым», то есть полиномиально зависящим от размера входа. Сюда относится сортировка, поиск во множестве, выяснение связности графов и многие другие.

Класс NP

Класс NP содержит задачи, которые недетерминированная машина Тьюринга в состоянии решить за полиномиальное количество времени. Следует заметить, что недетерминированная машина Тьюринга является лишь абстрактной моделью, в то время как современные компьютеры соответствуют детерминированной машине Тьюринга с ограниченной памятью. Таким образом, класс NP включает в себя класс P, а также некоторые проблемы, для решения которых известны лишь алгоритмы, экспоненциально зависящие от размера входа (то есть неэффективные для больших входов). В класс NP входят многие знаменитые проблемы, такие как задача коммивояжёра, задача выполнимости булевых формул, факторизация и др.