Варіант 5

1. Нехай β – база топологічного простору і. Довести, що сім’я де утворює базу в підпросторі .

2. Довести, що в – просторі точка, база якої складається із скінченного числа елементів, ізольована.

3. Довести, що в означенні регулярного простору аксіому можна замінити на аксіому. Чи виконується це твердження для нормальних просторів?

4. Нехай ,– неперервні відображення топологічного простору в . Довести, що підмножина топологічного простору , яка складається із всіх розв’язків системи рівнянь , буде замкненою. Чи можна скінченну систему рівнянь замінити нескінченною?

Варіант 6

1. Довести, що топологічний добуток скінченного числа топологічних просторів з другою аксіомою зчисленності буде топологічним простором з другою аксіомою зчисленності. Чи виконується обернене твердження?

2. Довести, що підмножина топологічного простору з першою аксіомою зчисленності замкнена тоді і тільки тоді, коли межа будь-якої збіжної в послідовності з належить .

3. Нехай – множина дійсних чисел. Довести, що сім’я всіх інтервалів типу,буде базою деякої топології τ на множині. Довести, що– нормальний простір.

4. Нехай ,– неперервні відображення топологічного простору в . Довести, що підмножина топологічного простору , яка складається із всіх розв’язків системи рівнянь , буде відкритою. Чи можна скінченну систему рівнянь замінити нескінченною?

Варіант 7

1. Довести, що будь-який підпростір простору з другою аксіомою зчисленності буде простором з другою аксіомою зчисленності.

2. Довести, що будь-який підпростір – простору буде– простором.

3. Довести, що – простір буде нормальним тоді і тільки тоді, коли для будь-яких двох замкнених неперетинних у ньому підмножин існує такий окіл однієї з них, що його замикання не перетинається з іншими.

4. Довести, що вся площина ² гомеоморфна до будь-якого відкритого квадрату цієї площини.

Варіант 8

1. Навести приклад, який довів би, що неперервний образ простору з другою аксіомою зчисленності може не задовольняти цій аксіомі.

2. Довести, що у – просторі будь-яка множина буде перетином деякої сім’ї відкритих множин.

3. Довести, що – простір тоді і тільки тоді регулярний, коли для будь-якої точки та будь-якої замкненої множини , що не містить цю точку, існує такий окіл, для якого.

4. Довести, що будь-який відкритий прямокутник в ² буде гомеоморфний в ².

Варіант 9

1. Довести, що образ бази при неперервних відображеннях може не бути базою.

2. Навести приклад – простору, у якому ніяка множина з однією точкою не є замкненою.

3. Довести, що образ нормального простору при неперервному замкненому відображенні буде нормальним простором.

4. Довести, що замкнений круг в ² буде гомеоморфний до замкненого квадрату в ².

5. Зв’язність топологічних просторів.

Лінійна зв’язність. Гомеоморфізм

Варіант 1

1. Навести приклад двох зв’язних множин, перетин яких не буде зв’язною множиною.

2. Навести приклад, який підтверджує, що прообраз зв’язної множини при неперервному відображенні не обов’язково буде зв’язним.

3. Нехай – графік функції. Довести, що множина² – зв’язна, але не лінійно зв’язна.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфні «букви» і на площині.

Варіант 2

1. Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що містить тільки одну раціональну координату.

2. Визначити, чи буде локально зв’язною підмножина точок числової прямої.

3. Нехай і– топологічні простори. Довести, щоітоді і тільки тоді зв’язні, коли топологічний простір– зв’язний.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфні «букви» і на площині.

Варіант 3

1. Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що мають хоча б одну раціональну координату.

2. Нехай та. Довести, що– лінійно зв’язна множина, а – зв’язна, але не лінійно зв’язна

3. Довести, що зв’язність топологічного простору є те саме, що: будь-яка неперервна функціязадовольняє властивостям Дарбу, тобто разом з будь-якими двома своїми значеннями приймає і всі проміжні значення.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними ² і ².

Варіант 4

1. Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що має точно дві раціональні координати.

2. Визначити, чи буде локально зв’язною множина всіх цілих чисел у топології, яка індукована з ¹.

3. Довести, що якщо множина – зв’язна, то будь-яка множина така, що , також буде зв’язною.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними кулі в ² та коло в ².

Варіант 5

1. Довести, що топологічний простір незв’язний тоді і тільки тоді, коли існує власна підмножина цього простору така, що .

2. Навести опис усіх зв’язних підмножин множини дійсних чисел, що наділені топологією скінченних доповнень.

3. Нехай – шлях, що з’єднує точку множини з точкою, що належить. Довести, що, тобто шлях перетинає межу множини .

4. Довести, що відкритий інтервал не гомеоморфний ніякому напіввідкритому і ніякому замкненому інтервалу.

Варіант 6

1. Довести, що простір незв’язний тоді і тільки тоді, коли його можна неперервно сюр’єктивно відобразити в гаусдорфів простір, який складається з двох точок.

2. Визначити, чи буде локально зв’язною множина всіх раціональних чисел з топологією, яка індукована з ¹.

3. Нехай – підмножина лінійно зв’язного топологічного простору. Довести, що якщо – лінійно зв’язна, то і також лінійно зв’язна множина.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними коло в ² та кругове кільце в ².