Параксиальное приближение
• В параксиальном приближении можно считать, что sinθ ≈θ .
•Параксиальное приближение не позволяет упростить уравнения эйконала (Ф. - 23). Однако позволяет существенно упростить выражение для длины пути Lp.
•В общем случае профиль ОВ может быть записан в виде:
• |
n2 (x)= n2 {1−2∆f (x)} |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(Ф. - 43) |
|||
|
co |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
где f(x) – неотрицательная функция, а ∆ - константа, определяемая с учетом |
|||||||||||||
|
n |
|
1 − |
n2 |
(Ф. - 3), как |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
θc = arccos |
cl = arcsin |
cl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
nco |
|
nco2 |
|
2∆ =1− |
ncl |
|
= sin2 θ |
c |
|
||||
• |
|
|
|
|
|
n2 |
(Ф. - 44) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= ncl , а |
|
|
co |
|
|
, |
||||
• В однородной оболочке n(x) |
f (x)=1 |
. Такое определение ∆ |
||||||||||||
|
предполагает выполнение условия ∆ << 1 в приближении |
|
||||||||||||
|
слабонаправляющего волновода, т.е. условия |
|
nco ≈ ncl . Таким образом, в |
|||||||||||
|
первом порядке приближения |
|
θ2 |
n |
−n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∆ ≈ |
c ≈ |
co |
|
cl |
, |
θc <<1 |
|
||
• |
|
|
|
|
nco |
(Ф. - 45) |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
||||||
•и характеризует относительную высоту профиля.
• |
При ∆f(x) << 1 из (Ф. - 43) следует, что n(x)≈ n |
{1−∆f (x)} |
(Ф. - 46) |
• |
co |
|
Параболический профиль, аналитическое решение
•Если задать профиль показателя преломления в виде:
• |
n2 |
(x)= n2 |
{1−2∆(x ρ)q }, |
q =1,2,4,8,...,∞ |
, |
(Ф. - 47) |
|
co |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
•то мы охватим случаи «треугольного», «параболического», степенных, … вплоть до «ступенчатого» профилей. Все эти профили, за исключением ступенчатого, не ограничены в пространстве. В результате каждая траектория луча имеет точку поворота. В частности, для параболического профиля:
• |
xtp = ±ρ |
nco2 |
−β |
2 |
sinθ |
|
(0) |
≈ ±ρ |
θ |
|
(0) |
, |
(Ф. - |
48) |
|||
n |
2∆ |
= ±ρ |
|
z |
(0) |
|
z |
(0) |
|||||||||
|
|
|
|
|
sinθc |
|
θc |
|
|
|
|
||||||
• |
|
|
|
co |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направляемых лучей |
||
все лучи являются направляемыми, а инвариант β |
|||||||||||||||||
|
удовлетворяет условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
≤ nco |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
0 ≤ β |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ф. - |
49) |
|||
•подставляя (Ф. - 48) в выражение (Ф. - 39) для zp и сделав замену, x = xtp sin w получим
x= xtp sin π z ; zp = 1 = πρβ∆ , (Ф. - 50)
zp N nco 
2
•где zp – полупериод траектории луча, вычисленный аналогично с помощью
(Ф. - 39).
Параболический профиль, аналитическое решение
• |
Аналогично, получаем |
|
||||||||||
|
|
(n2 |
|
|
|
|
|
2 ) |
|
|
||
|
Lo = zp |
|
+β |
|
|
|||||||
• |
co |
|
|
|
|
|
|
, |
(Ф. - 51) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2β |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
•Геометрическая длина пути выражается через полный эллипитический интеграл 2-го рода E(v) согласно соотношению .
π2
Ev = ∫ 
1−vsin2 θdθ
В случае0 слабонаправляющего волновода при ∆ << 1 можно получить упрощенное выражение
• |
L |
|
= |
|
2 |
|
2∆ |
xtp2 |
≈ |
zp |
3n |
β |
|
, |
(Ф. - |
52) |
||||
|
ρ |
|
E |
|
|
co + |
n |
|
||||||||||||
|
|
p |
|
|
∆ |
|
|
ρ2 |
|
4 |
β |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
co |
|
|
|
|
|
• Для времени прохождения луча получим: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
(n2 |
|
|
|
|
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = z |
+β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
• |
co |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ф. - |
53) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2cβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Волоконные световоды
Направляемые лучи в волоконных световодах
•Можно показать, что время прохождения луча в ступенчатых и усеченных круглых и некруглых световодах совпадает с временем прохождения луча в планарных световодах соответствующего профиля.
Волоконные световоды круглого сечения.
•Характерный вид ОВ круглого сечения приведен на рис. В пределах сердцевины осесимметричный профиль показателя преломления n(r) является либо постоянным (ступенчатый ОВ), либо изменяется (градиентный ОВ), а в оболочке имеет постоянное значение ncl.
•Для характеристики круглого ОВ используется волоконный параметр:
V = 2πρ n2 |
− n2 |
|
(Ф. - 69) |
|
λ |
co |
cl |
|
|
|
nco2 −ncl2 |
|
|
|
Величину |
|
часто называют числовой апертурой ОВ, |
||
а выражение |
n2 |
(r)−ncl2 - локальной числовой апертурой. |
||
Рис. 10. – Обозначения, используемые при описании круглых волоконных световодов.