Энергетический спектр сверхрешеток
• Решения уравнений (9.89a) и (9.89b) имеют вид для 0 < х < W |
|
|
|
и |
u(x)= A exp(i(K1 − K )x)+ B exp(−i(K1 − K )x), |
0 ≤ x ≤W |
(9.90) |
u(x)= C exp((β −iK )x)+ D exp(−(β +iK )x), |
− L ≤ x ≤ 0 |
(9.91) |
|
•для - L < х < 0 .
•Константы А, В, С и D должны выбираться так, чтобы и и du/dx были непрерывны при х=0 и x=W и выполнялось условие периодичности, согласно которому значения и и du/dx в точке x=W должны быть равны значениям и и du/dx в точке x=-L . Это приведет к системе линейных однородных уравнений ;
A + B = C + D; |
|
|
i(K1 − K )A −i(K1 + K )B = (β −iK )C −(β −iK )D |
(9.92) |
|
exp{i(K1 − K )W} A + exp{−i(K1 + K )W} B = |
||
= exp{−(β −iK )L} C + exp{(β +iK )L} D |
|
|
i(K1 − K ) exp{i(K1 |
− K )W } A −i(K1 + K ) exp{−i(K1 + K )W } B = |
|
= −(β −iK ) exp{− |
(β −iK )L} C + (β +iK ) exp{(β +iK )L} D |
|
•Система (9.92) имеет решение, если ее детерминант, составленный из коэффициентов при А, В, С и
D равен 0. С учетом этого получим, что разрешенные значения волнового вектора К (а значит, и
энергии E = h2 K 2 2m |
) должны удовлетворять следующему дисперсионному соотношению: |
|
|
cos(Kd )= cos(K1W )ch(βL)= 0.5(η −1 η)sin(K1W )sh(βL), η = K1 β |
(9.93) |
Энергетический спектр сверхрешеток
•Согласно (9.93) энергетический спектр СР для 0 < Е < U0 разбивается на зоны разрешенных и запрещенных значений энергии. Разрешенным зонам соответствуют такие значения Е, для которых значение правой части (9.93) лежит в интервале от -1 до +1 и К принимает вещественные значения. Области Е, которым не соответствуют вещественные К, называются запрещенными зонами или щелями, так как частицы с такими энергиям, согласно (9.88), не могут распространяться по СР на значительные расстояния.
•Если сделать барьеры достаточно широкими (L→∞), то придем к случаю с изолированными КЯ, для
которых разрешены только дискретные значения энергии. Согласно (9.93) при (L→∞) для определения |
||
разрешенных значений К получаем соотношение, |
0.5(η −1 η)= ctg(KW ) |
(9.94) |
которое совпадает с (9.38) для симметричной потенциальной ямы. |
|
|
•В промежуточной области L, когда взаимодействие между КЯ мало, выражение (9.93) также можно
упростить [8]. Обозначив через Еn дискретные значения энергии, соответствующие (9.94), а через F(E) - правую часть (9.93), разложим F(E) в ряд в окрестности Еn (так как если βL велико, то F(E) будет меньше единицы лишь вблизи Еn ). Ограничиваясь первым членом разложения, имеем
E = En + Sn + 2tn cos(Kd ), Sn = −F(En )dE |
|
|
|
, tn = |
1 dE |
|
(9.95) |
dF |
|
E =E |
n |
|
2 dF |
|
E =En |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
•Выражение (9.95) соответствует приближению сильной связи для взаимодействующих КЯ, которые в отсутствие взаимодействия имели бы связанные состояния, определяемые (9.94).
•Согласно (9.95) взаимодействие между ямами проявляется двояким образом. Во-первых, связанное
состояние Еn сдвигается на величину Sn . Во-вторых, в системе из N невзаимодействующих КЯ уровень Еn будет N -кратно вырожден. Взаимодействие снимает это вырождение и создает зону конечной ширины 4tn.
Энергетический спектр сверхрешеток
• Ширина энергетических зон в СР оказывается значительно меньше ширины энергетических зон материалов слоев, образующих СР. Чтобы подчеркнуть это, энергетические зоны в СР называют минизонами. Анализ (9.93) показывает, что ширина разрешенных минизон увеличивается с увеличением взаимодействия между КЯ (т. е. с уменьшением высоты и ширины барьеров) и порядкового номера минизоны.
• В реальных системах электрон может двигаться в трех направлениях. Обратим внимание на одну особенность энергетического спектра СР, проявляющуюся при учете трехмерного характера движения электрона.
• Возьмем СР, в которой движение в х направлении происходит через систему
потенциальных барьеров (см. рис.9.19 ), а в направлениях у и z (вдоль слоев СР) движение частицы является свободным. При этом будем следовать работе [9].
Рассмотрим электрон, имеющий в слое А энергию ЕB и волновой вектор КA с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
компонентами КZ, КY |
и К1. Пусть, переходя в слой В, тот же электрон имеет энергию ЕA, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равную Е |
А |
в силу закона сохранёния энергии, и волновой вектор K |
B |
с компонентами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K |
Z |
, K |
Y |
и K |
2 |
. Из непрерывности волновой функции на границе слоев вытекает |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
При этом, |
|||||
сохранение у- и z-компонент волнового вектора, т. е. |
|
KZ = KZ и KY = KY . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
используя закон сохранения энергии, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
h2 (K |
2 |
+ K 2 ) |
= |
h2 (K 2 |
+ K 2 ) |
+U |
|
, где |
K |
|
2 |
= K |
2 |
+ K |
2 |
, |
|
U |
|
−потенциалСР |
(9.96) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
II |
1 |
|
|
II |
2 |
|
ср |
II |
Z |
Y |
|
ср |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2m* |
|
2m* |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• Так как |
|
|
|
|
|
K1 = |
2m*A EX |
h, |
K |
|
|
2m* |
[E |
|
−U |
|
+ E |
|
(1 −m* |
m* )] h, |
|
|
(9.97) |
||||||||||||||||
то из (9.96) имеем |
|
|
|
|
|
2 |
= |
X |
СР |
II |
|
|
(9.98) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|||||
где E |
|
– энергия, соответствующая x-компоненте волнового вектора в области A (т.е. K1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а |
|
EIIx |
|
= h2 KII2 2m*A |
- энергия поперечного движения в слое A. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Энергетический спектр сверхрешеток
• Сопоставляя (9.89c) и (9.98), видим, что выражение UСР − EII (1−m*A 
mB* ) в (9.98) играет роль эффективного потенциала. Причем, из-за несовпадения компонент эффективных масс контактирующих веществ эффективный потенциал зависит от EII (т.е. от KZ и KY).
Последнее, как отмечено в [10], может даже приводить к изменению знака эффективного потенциала т.е. к превращению потенциального барьера в яму, при
EX , KP =UСР − EII (1 − m*A 
mB* ) , причем в зависимости от величины m*A 
mB* EX,KP может быть как больше, так и меньше UCP.
1.Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики, –М: Наука, 1983. 664 с.
2.Левич В.Г. Курс теоретической физики, -М: Наука, 1971, т.2 -937 с.
3.Тагер А.С. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупроводниковых структурах и
перспективы их применения в электронике СВЧ // Электронная техника. Сер. Электроника |
СВЧ |
–1989 – Ч-1, вып.9(403)- с.21-34
4.Петров А.Г., Шик А.Я. Межуровневые оптические переходы в квантовых ямах //ФТП – 1993 –Т.27, вып.6-С.1047-1057
5.Дымников В.Д., Константинов О.В. Уровни энергии в квантовой яме с прямоугольными стенками сложной формы
// ФТП.- 1995.-Т.29, вып.1.-С.133-139
6.Спроуз Р. Современная физика. -М: Наука, 1974.-591с
7.Борн М., Вольф В. Основы оптики. –М: Наука, 1970.-607 с.
8.Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры. /Под ред. Л. Ченга, К. Плога. –М: Мир 1989. – 584с.
9.Херман Н. Полупроводниковые сверхрешетки. –М: Мир, 1989. – 240с.
10.Копаев В.В., Копаев Ю.В., Токатлы Ю.В. Зависимость от импульса размерности электронных состояний в гетероструктурах, // УФН.-1997.-С.562-566.
По световодам: А.Снайдер, Дж.Лав. Теория оптических волноводов. –М: Радио и связь 1987