Тема 4 : Компактность

V3

X - компактное метрическое пространство

1

полное и для любого ε > 0 в X существует конечная ε-сеть

1

Из любой последовательности точек X можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

1

Любое бесконечное подмножество в X имеет хотя бы одну предельную точку

0

Не полное

0

Любое бесконечное подмножество в X не имеет предельных точек

0

ε > 0 такое, что в Х не существует конечная ε-сеть

0

гильбертово

0

евклидово

V3

Если A : X à Y линейный оператор, то

1

D(A) – линейное многообразие

1

A(x + y) = Ax + Ay, x, yX

1

A(λx )= λ Ax , xX ,λR¹

0

A(-x) = Ax, xX

0

A(x + y) > Ax + Ay , x, yX

0

A(x + y) < Ax + Ay, x, yX

0

A(λx )= - λ Ax

0

A0 < 0

V3

Если A : X à Y линейный оператор, то

1

A0=0

1

A(x + y) = Ax + Ay, x, yX

1

A(-x )= - Ax , xX

0

A(-x) = Ax, xX

0

A(x + y) > Ax + Ay , x, yX

0

A(x + y) < Ax + Ay, x, yX

0

A(λx )= - λ Ax

0

A0 < 0

V3

Если A : X à Y линейный оператор, то

1

D(A) – линейное многообразие

1

A(αx + βy) = αAx + βAy, x, yX,α, βR¹

1

A(-x )= - Ax , xX

0

A(-x) = Ax, xX

0

A(x + y) > Ax + Ay , x, yX

0

A(x + y) < Ax + Ay, x, yX

0

A(λx )= - λ Ax

0

A0 > 0

V3

A : C[0;1] → C[0; 1] линейный оператор

1

Ax(t) = 3x(t)

1

Ax(t) = dx/dt

1

Ax(t) =

0

Ax(t) = x²(t)

0

Ax(t) = x³(t)

0

Ax(t) = exp(x (t))

0

Ax(t) = ln x(t)

0

Ax(t) = sin x(t)

V3

A : L1[-1;1] → L1[-1; 1] линейный оператор

1

Ax(t) = 5x(t)

1

Ax(t) = dx/dt

1

Ax(t) =

0

Ax(t) = x²(t)

0

Ax(t) = x³(t)

0

Ax(t) = exp(x (t))

0

Ax(t) = ln x(t)

0

Ax(t) = sin x(t)

V3

A : L2[0;1] → L2[0; 1] линейный оператор

1

Ax(t) = x(t) – x(0)

1

Ax(t) = dx/dt

1

Ax(t) =

0

Ax(t) = x²(t)

0

Ax(t) = x³(t)

0

Ax(t) = exp(x (t))

0

Ax(t) = ln x(t)

0

Ax(t) = sin x(t)

V3

A : C[0;1] → C[0; 1] нелинейный оператор

1

Ax(t) = x²(t)

1

Ax(t) = exp(x (t))

1

Ax(t) =

0

Ax(t) = 3x(t) - 1

0

Ax(t) = x(t) + 2

0

Ax(t) = dx/dt

0

Ax(t) =

0

Ax(t) =

V3

Если A : X  Y линейный непрерывный оператор, то он

1

Ограничен

1

Непрерывен в точке 0

1

сходящуюся последовательность пространства X переводит в сходящуюся последовательность пространства Y

0

Не ограничен

0

A(-x) = Ax

0

A(λx ) > λ Ax

0

A(x + y) < Ax + Ay

0

Непрерывен в точке 0, но разрывен в остальных точках пространства Х

V3

Неограниченный линейный оператор

1

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) =

1

A : C[0; 2] → C[0; 2] , Ax(t) =

1

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =dx/ dt

0

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = 2 x(t) -1

0

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) =

0

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = 0,5 x( t )

0

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =

0

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =- x( t )

V3

Неограниченный линейный оператор

1

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) =

1

A : C[0; 2] → C[0; 2] , Ax(t) =

1

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =dx/ dt

0

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = x(t)

0

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) =

0

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = sin t · x( t )

0

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =

0

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = x( t )

V3

Oграниченный линейный оператор

0

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) =

0

A : C[0; 2] → C[0; 2] , Ax(t) =

0

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =dx/ dt

1

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = x(t)

1

A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) =

1

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = sin t · x( t )

0

A : C[0; 2] → C[0; 2] , Ax(t) =

0

A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = x( t ) / (t-1)

V3

Норма || A || оператора

1

1

1

0

0

0

0

max || x ||

0

|| Ax|| + || x ||

V3

Норма || A || пространства линейных непрерывных операторов L(X, Y)

1

1

1

0

0

0

0

max || x ||

0

|| Ax|| + || x ||

V3

Если f - линейный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве Х, то

1

D(f ) – линейное многообразие

1

x,y D( f ) f(x + y) = f(x) + f(y)

1

xD( f ) ,αR¹ f (α x)=α f(x)

0

x,y D( f ) f(x + y) < f(x) + f(y)

0

Если x_n → x , то f(x_n ) → f(x) при n →

0

M > 0 : | f(x) | ≤ M || x || , xD( f )

0

Ограниченный функционал

0

неограниченный

V3

Если f - линейный непрерывный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве Х, то

1

Если x_n → x , то f(x_n ) → f(x) при n →

1

M > 0 : | f(x) | ≤ M || x || , xD( f )

1

Ограниченный функционал

0

неограниченный

0

Если x_n → 0 , то f(x_n ) → 7 при n →

0

M > 0 x D( f ) : | f(x) | > M

0

x,y D( f ) f(x + y) < f(x) + f(y)

0

x D( f ) f(-x) = f(x)

V3

Норма || f || функционала

1

1

1

0

0

0

0

max || x ||

0

| f(x)| + || x ||