Тема 7 : Сопряженное и второе сопряженное пространство

V3

Рефлексивные пространства

1

L_p [a; b] , 1/p + 1/q =1

1

, 1/p + 1/q =1

1

H – гильбертово пространство

0

C[a; b]

0

C ^k[a; b]

0

m

0

c

0

L1[a; b]

V3

Пусть Х – банахово пространство. Если x _n→ х слабо сходится к x при n →, то

1

f X* f( x_n ) → f(x), n →

1

ε > 0 N : | f( x_n ) – f(x) | < ε , n > N

1

Ax_n → Ax сильно , n →приA – вполне непрерывном операторе

0

x _n→ х сильно

0

|| x _n - х || → 0, n →

0

{ x _n } - неограничена

0

a X : x _n→ a, n →

V3

Обобщенная функция ( f, φ ) –

1

Всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций

1

(f, αφ₁ + βφ₂ ) = (f, αφ₁ ) +(f, βφ₂ ), α, βR¹ , φ₁ , φ₂ K –пространствo основных функций

1

Если φ_n →φ , то (f, φ_n ) при n →

0

Нелинейный функционал

0

Неограниченный функционал

0

Функционал непрерывный только в одной точке

0

Финитная функция

0

Монотонная функция

V3

Регулярная обобщенная функция

1

это обобщенная функция, задаваемая формулой

( f, φ ) =

1

Функция Хевисайда f(x) =

1

f(x) =

0

- функция Дирака

0

Смещенная - функция Дирака (δ_a , φ) = φ( a )

0

(δ , φ) = φ( 0 )

0

α(x)δ(x)

0

V3

Сингулярная обобщенная функция

1

- функция Дирака (δ , φ) = φ( 0 )

1

Смещенная - функция Дирака (δ_a , φ) = φ( a )

1

- это обобщенная функция, которую нельзя задать формулой

( f, φ ) =

0

Функция Хевисайда

0

f(x) =

0

f(x) =

0

α(x)θ(x)

0

θ(x) =

V3

Действия над обобщенными функциями

1

( f’ , φ ) = - ( f, φ’ ) , φ K – пространствo основных функций

1

( f ^(m) , φ ) = - ( f, φ^(m) ) , φ K – пространствo основных функций

1

(α f, φ ) =( f, αφ ) , α (x) (R¹)

0

0

α(x) f(x)

0

(f (x) + g(x))

0

(f(x) /g(x))

0

V3

Внутренние точки множества M={x(t) C[0;1] | x(t)1}

1

Sin t

1

t

1

t/5

0

20 t +5

0

3t+7

0

4t +1

0

15t

0

6t

V3

Внутренние точки множества M={x(t) C[0;1] | x(t) < 2}

1

t/2

1

t

1

t/5

0

20 t +5

0

3t +7

0

4t +2

0

15t+4

0

6t+8

V3

Внутренние точки множества M={x(t) C[0;1] | x(t) > 1}

1

5t +6

1

10+ t

1

20 t +5

0

t/7

0

0,3 t

0

Sin t

0

Cos t

0

-0,6t

V3

Внешние точки множества M={x(t) C[0;1] | x(t)1}

1

3 + Sin t

1

9 + t

1

13+2t

0

t

0

3t

0

4t

0

15t

0

6t

V3

Внешние точки множества M={x(t) C[0;1] | x(t) < 2}

1

4+t

1

13+t

1

5+ t/5

0

t

0

3t

0

4t

0

1,5t

0

0,6t

V3

Внешние точки множества M={x(t) C[0;1] | x(t) > 1}

1

0,5t

1

t

1

0,2 t

0

20t

0

0,3 t

0

Sin t +8

0

10+ Cos t

0

6t

V3

Нигде не плотное множество-

1

Замыкание нигде не плотного множества

1

Конечное объединение нигде не плотных множеств

1

Разность нигде не плотных множеств

0

Его дополнение нигде не плотно

0

счетное объединение нигде не плотных множеств

0

Числовая прямая

0

Множество рациональных чисел

0

Множество иррациональных чисел

V3

Нигде не плотное множество-

1

Конечное пересечение нигде не плотных множеств

1

Замыкание нигде не плотного множества

1

Его дополнение всюду плотно

0

Его дополнение нигде не плотно

0

счетное объединение нигде не плотных множеств

0

Числовая прямая

0

Множество рациональных чисел

0

Множество иррациональных чисел

V3

Множество первой категории в полном метрическом пространстве-

1

Объединение не более, чем счетного числа нигде не плотных множеств

1

счетное объединение множеств первой категории

1

Разность множеств первой категории

0

Его дополнение является множеством первой категории

0

C[a; b]

0

Числовая прямая

0

Множество второй категории

0

Множество иррациональных чисел

V3

Множество второй категории в метрическом пространстве-

1

Все те множества, которые не являются множествами первой категории

1

Полное метрическое пространство

1

Его дополнение является множеством первой категории

0

счетное объединение множеств первой категории

0

Разность множеств первой категории

0

Каждое подмножество множества первой категории

0

Замыкание нигде не плотного множества

0

Множество рациональных чисел

V3

Спектр оператора A : C[0; 1] à C[0; 1] , Ax(t) = t x( t ) принадлежит промежутку

1

[0; 1]

1

[-1; 1]

1

[0; 2]

0

[2; 4]

0

[-3; -2]

0

[15; 20]

0

[8; 10]

0

[30; 40]

V3

Спектр оператора A : C[0; 1] à C[0; 1] , Ax(t) = x( t ) принадлежит промежутку

1

[1; + )

1

[0,5 ; + )

1

[0,8 ; + )

0

[0; 1]

0

[-3; -2]

0

[-15; 0]

0

[-1; 1]

0

[0; 0,5]

V3

Точка λσ (A) принадлежит спектру оператора А, если

1

Оператор (A – λ I ) необратим

1

Оператор (A – λ I ) обратим, но его область значений R( A- λ I) X

1

Оператор (A – λ I ) обратим, R( A- λ I) = X , но оператор (A – λ I )^-1 неограничен

0

Оператор (A – λ I ) непрерывно обратим

0

Оператор (A – λ I ) обратим и оператор (A – λ I )^-1 ограничен

0

Уравнение Ax = λ x имеет только нулевое решение

0

Ядро оператора N(A)= { 0 }

0

λρ (A) – регулярная точка оператора А